一、性質1 若函式y＝f(x)關於直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：
（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)
性質2 若函式y＝f(x)關於點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
易知，y＝f(x)為偶（或奇）函式分別為性質1（或2）當a＝0時的特例。
二、定義1 若對於定義域內的任一變數x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則複數函式y＝f[g(x)]為偶函式。
定義2 若對於定義域內的任一變數x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復合函式y＝f[g(x)]為奇函式。
說明：（1）複數函式f[g(x)]為偶函式，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，
復合函式y＝f[g(x)]為奇函式，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）兩個特例：y＝f(x＋a)為偶函式，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；
y＝f(x＋a)為奇函式，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)。
（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函式，等價於單層函式y＝f(x)關於直線x＝a軸對稱（或關於點（a，0）中心對稱）。
三、性質3 復合函式y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關於直線軸對稱。
性質4 復合函式y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關於點中心對稱。
證明性質3：設（m，n）為y＝f(a＋x)上任一點，則n＝f(a＋m)，
由於點（m，n）關於的對稱點為（b-a-m，n）恰好在y＝f(b－x)上，
∴y＝f(a＋x)與y＝f(b－x) 關於直線軸對稱。
證明性質4 ：由y＝f(a＋x)與y＝f(b－x) 關於直線軸對稱，
又y＝f(b－x)與y＝－f(b－x)關於x軸對稱，
∴函式y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關於點中心對稱。
推論1 復合函式y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關於y軸軸對稱
推論2 復合函式y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關於原點中心對稱
四、若a是非零常數，若對於函式y＝f(x)定義域內的任一變數x點有下列條件之一成立，則函式y＝f(x)是週期函式，且2|a|是它的乙個週期。
①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)
五、性質4 若函式y＝f(x)同時關於直線x＝a與x＝b軸對稱，則函式f(x)必為週期函式，且t＝2|a－b|
性質5 若函式y＝f(x)同時關於點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函式f(x)必為週期函式，且t＝2|a－b|
性質6 若函式y＝f(x)既關於點（a，0）中心對稱，又關於直線x＝b軸對稱，則函式f(x)必為週期函式，且t＝4|a－b|
證明：f(x)關於點（a，0）中心對稱，∴f(2a－x)＝－f(x)
f(x)關於直線x＝b軸對稱，∴f(2b－x)＝f(x) ∴f(2a－x)＝－f(2b－x) ①
自變數x取2b－x ，由①式得：f(2a－2b +x)＝－f(x)
∴f(x)為週期函式且t＝4|a－b|
結論1若函式y＝f(x)滿足，則函式f(x)的週期t=4a；
證明：原式中自變數取，得，
∴的週期t=4a
結論2若函式y＝f(x)滿足，且，則的週期t=4a；（與正切函式模擬）
證明：令，，則，由結論1知函式f(x)的週期t=4a
結論3若函式，則函式f(x)的週期t=3a；
證明：由
∴，由自變數取得：
∴函式f(x)的週期t=3a
結論4，則的週期t=6a.
例1 函式y＝f(x)是定義在實數集r上的函式，那麼y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（ ）（2023年3＋x高考**試題（四月卷））
a．關於直線x＝5對稱 b．關於直線x＝1對稱
c．關於點（5，0）對稱 d．關於點（1，0）對稱
解：據復合函式的對稱性知函式y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)之間關於
點（（6－4）/2，0）即（1，0）中心對稱，故選d。（原卷錯選為c）
例2 設f(x)是定義在r上的偶函式，其圖象關於x＝1對稱，證明f(x)是週期函式。（2023年理工類第22題）
證明：∵f(x)關於x＝0和x＝1軸對稱 ∴f(x)為週期函式且t＝2
例3 設f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函式，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時f(x)＝x，則f(7.5)等於（）（2023年理工類第15題）
a．0.5 b．－0.5 c．1.5 d．－1.5
解：∵f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x＋4)]＝f(x＋4)
∴f(x)為週期為4的週期函式
f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，故選b。
例4 設f(x)是定義在r上的函式，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（ ）
a．偶函式，又是週期函式 b．偶函式，但不是週期函式
c．奇函式，又是週期函式 d．奇函式，但不是週期函式
解：f(x)關於x＝10軸對稱，關於（20，0）中心對稱，∴f(x)為週期函式，且t＝40，∴f(x)也關於點（0，0）中心對稱，即f(x)為奇函式，故選c
例5若f(x+a)=f(x)-1/f(x)+1對x屬於r恆成立，則是週期函式且t=4a是它的乙個週期
因為所以
第十二講函式的週期性與對稱性
深圳克維教育高考數學研究中心 13902916396 知識要點 1.週期的定義 2.最小正週期是f x 週期.nt nn 也是它的週期為週期函式.f xa 或f axb 也是週期函式.f ax f bx f ax f bx f ax f xb f ax f xb 第 講 易錯 5.週期性與對稱性區別...
函式的週期性與抽象函式學生版
1.4函式的週期性 1.4.1 定義 對於函式y f x 如果存在乙個不為零的常數t，使得當x取定義域內的每乙個值時，f x t f x 都成立，那麼就把函式y f x 叫做週期函式，t叫做函式的週期.1.4.2求函式週期性方法 1.4.2.1 換元法 重要結論 1 則是以為週期的週期函式。2.若函...
第7講函式的奇偶性週期性對稱性
基礎檢測 1 已知是定義在上週期為的奇函式，當時，則 a 2bc 2d 5 答案 a 解析 試題分析 因為是定義在上週期為的奇函式，所以，故選a。考點 函式的奇偶性和週期性 2 設是定義在上的偶函式，則的值域是 a b c d 與有關，不能確定 答案 a 解析 試題分析 函式是偶函式，定義域對稱 所...