函式是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函式的性質是競賽和高考的重點與熱點，函式的對稱性是函式的乙個基本性質，對稱關係不僅廣泛存在於數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關係還充分體現了數學之美。本文擬通過函式自身的對稱性和不同函式之間的對稱性這兩個方面來**函式與對稱有關的性質。
一、函式自身的對稱性**
定理1.函式 y = f (x)的影象關於點a (a ,b)對稱的充要條件是f (x) + f (2a－x) = 2b。
（「若f (x) + f (2a－x) = 2b，則函式 y = f (x)的影象關於點a (a ,b)對稱」命題正確，且「若數 y = f (x)的影象關於點a (a ,b)對稱，則f (x) + f (2a－x) = 2b成立」逆命題也正確，則稱「函式 y = f (x)的影象關於點a (a ,b)對稱的充要條件是f (x) + f (2a－x) = 2b」。）
證明：（必要性）設點p(x ,y)是y = f (x)影象上任一點，∵點p( x ,y)關於點a (a ,b)的對稱點p'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)影象上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。
（充分性）設點p(x0,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故點p'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 影象上，而點p與點p'關於點a (a ,b)對稱，充分性得徵。
推論：函式 y = f (x)的影象關於原點o對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函式 y = f (x)的影象關於直線x = a對稱的充要條件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)。
證明：（必要性）設點p(x ,y)是y = f (x)影象上任一點，∵點p( x ,y)關於點直線x = a的對稱點p'（2a－x，y）也在y = f (x)影象上，∴ y = f (2a－x),故f (x)= f (2a－x)，必要性得證。
（充分性）設點p(x0,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)
∵ f (x) = f (2a－x)∴f (x0) = f (2a－x0) ，即y0 = f (2a－x0) 。
故點p'（2a－x0，y0）也在y = f (x) 影象上，而點p與點p'關於直線x = a對稱，充分性得徵.
推論：函式 y = f (x)的影象關於y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函式y = f (x) 影象同時關於點a (a ,c)和點b (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是週期函式，且2| a－b|是其乙個週期。
②若函式y = f (x) 影象同時關於直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是週期函式，且2| a－b|是其乙個週期。
③若函式y = f (x)影象既關於點a (a ,c) 成中心對稱又關於直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是週期函式，且4| a－b|是其乙個週期。
②的證明留給讀者，以下給出①③的證明：
①的證明：∵函式y = f (x)影象既關於點a (a ,c) 成中心對稱，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
∵函式y = f (x)影象既關於點a b ,c) 成中心對稱，
∴f (x) + f (2b－x) =2c，∴f (2b－x) =2c-f(x代入（*）得
2c-f(x) + f [2a－(2b－x) ] =2c，∴f(x) = f [2a－(2b－x) ]= f [2（a－b）+x) ]
則y = f (x)是週期函式，且2| a－b|是其乙個週期。
③的證明：∵函式y = f (x)影象既關於點a (a ,c) 成中心對稱，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函式y = f (x)影象直線x =b成軸對稱，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是週期函式，且4| a－b|是其乙個週期。
二、不同函式對稱性的**
定理4. 函式y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的影象關於點a (a ,b)成中心對稱。
設點p(x0 ,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)。記點p( x ,y)關於點a (a ,b)成中心對稱點為p'（x1， y1），則x1 +x0=2 a , y1+y0 = 2b ，∴x0 =2 a -x1 , y0= 2b-y1 代入y0 = f (x0)之中得2b-y1 = f (2 a -x1) ∴y1 =2b- f (2 a -x1) ∴點p'（x1， y1）在函式y = 2b－f (2a－x)的影象上。
同理可證：函式y = 2b－f (2a－x)的影象上任一點關於點a (a ,b)成中心對稱點也在函式y = f (x)的影象上。故定理4成立。
定理5. ①函式y = f (x)與y = f (2a－x)的影象關於直線x = a成軸對稱。
②函式y = f (x)與a－x = f (a－y)的影象關於直線x +y = a成軸對稱。
③函式y = f (x)與x－a = f (y + a)的影象關於直線x－y = a成軸對稱。
②證明留給讀者，現證定理5中的①③
①的證明：設點p(x0 ,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)。記點p( x ,y)關於直線x = a的軸對稱點為p'（x1， y1），則x1 + x0= 2a , y1 = y0 ，∴x0 =2a-x1 , y0= y1 代入y0 = f (x0)之中得y1 = f (2a -x1) ∴點p'（x1， y1）在函式y = f (2a－x)的影象上。
同理可證：函式y = f (2a－x)的影象上任一點關於直線x = a的軸對稱點也在函式y = f (x)的影象上。故定理5中的①成立。
③的證明：設點p(x0 ,y0)是y = f (x)影象上任一點，則y0 = f (x0)。記點p( x ,y)關於直線x－y = a的軸對稱點為p'（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點p'（x1， y1）在函式x－a = f (y + a)的影象上。
同理可證：函式x－a = f (y + a)的影象上任一點關於直線x－y = a的軸對稱點也在函式y = f (x)的影象上。故定理5中的③成立。
推論：函式y = f (x)的影象與x = f (y)的影象關於直線x = y 成軸對稱。
三、三角函式影象的對稱性列表
注：①上表中k∈z
②y = tan x的所有對稱中心座標應該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為y = tan x的所有對稱中心座標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。
四、函式對稱性應用舉例
例1：定義在r上的非常數函式滿足：f (10+x)為偶函式，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）（第十二屆希望盃高二第二試題）
(a)是偶函式，也是週期函式(b)是偶函式，但不是週期函式
(c)是奇函式，也是週期函式(d)是奇函式，但不是週期函式
解：∵f (10+x)為偶函式，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其乙個週期的週期函式， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是乙個偶函式。
故選(a)
例2：設定義域為r的函式y = f (x)、y = g(x)都有反函式，並且f(x－1)和g-1(x－2)函式的影象關於直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那麼f(4)=（ ）。
（a）1999； （b）2000； （c）2001； （d）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函式的影象關於直線y = x對稱，
∴y = g-1(x－2) 反函式是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函式是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,應選（c）
例3.設f(x)是定義在r上的偶函式，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，
f (x) = － x，則f (8.6第八屆希望盃高二第一試題）
函式對稱性
若函式y f x 影象同時關於直線x a 和直線x b成軸對稱 a b 則y f x 是週期函式，且2 a b 是其乙個週期。若函式y f x 影象既關於點a a c 成中心對稱又關於直線x b成軸對稱 a b 則y f x 是週期函式，且4 a b 是其乙個週期。的證明留給讀者，以下給出 的證明 ...
小結函式對稱性
數學組劉巨集博 函式是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎.函式的性質是競賽和高考的重點與熱點，函式的對稱性是函式的乙個基本性質，對稱關係不僅廣泛存在於數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關係還充分體現了數學之美.本文擬通過函式自身的對稱性和不同...
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一 性質1 若函式y f x 關於直線x a軸對稱，則以下三個式子成立且等價 1 f a x f a x 2 f 2a x f x 3 f 2a x f x 性質2 若函式y f x 關於點 a，0 中心對稱，則以下三個式子成立且等價 1 f a x f a x 2 f 2a x f x 3 f 2...