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[知識要點]：1.週期的定義;2.最小正週期是f(x)週期.nt(nn)也是它的週期為週期函式.f(xa)或f(axb)也是週期函式.
f(ax)f(bx)f(ax)f(bx)
f(ax)f(xb)f(ax)f(xb)
第□講[易錯]5.週期性與對稱性區別:
[基本訓練]:1.若f(2x1)是偶函式,則f(2x)的對稱軸是.
f(x1)的對稱軸是2.設函式f(x)定義域為r,則下列命題中:(1)yf(x)為偶函式,則yf(x2)的圖象關於y軸對稱(2)yf(x2)為偶函式,則yf(x)的圖象關於x2對稱(3)若f(x2)f(2x),則yf(x)的圖象關於x2對稱(4)yf(x2)和yf(2x)圖象關於x2對稱，正確的是:
3.下列命題正確的是:
(a)週期函式的定義域是r(b)兩個週期函式之和是週期函式
(c)週期函式有最小正週期(d)函式關於xa,xb(ab)對稱,則f(x)是週期函式4.若存在常數p>0,使函式f(x)滿足f(px)f(px
p2)(xr),則f(x)的乙個正週期是:
為週期為2的奇函式,x[0,1],f(x)2x,f(log7).12
6. [典型例題]:yf(x)是定義在r上函式,且f(xa)=-f(x),a0,試證yf(x)是週期函式7..[同類變式]:yf(x)是定義在r上函式,且f(xa)
1f(x)
1f(x)
(a0),試問yf(x)是否是週期函
數,若f(xa)呢?
328..[能力提高]:設f(x)是定義在實數集r上函式,且滿足f(x2)f(x1)f(x),f(1)lg
f(2)lg15,求f(2001)
,9..[典型例題]:設定義為r的偶函式,關於x1對稱,求證:yf(x)為週期函式.
10..[同類變式]:設定義為r的函式yf(x)關於xm和(n,0)對稱,證明yf(x)為週期函式.
11..[能力提高]:設定義為r的函式關於xm和(a,b)對稱,試證yf(x)為週期函式.
12..[典型例題]:a0,f(x)是已知函式,且對一切x有f(xa)期函式.
13..[同類變式]:已知f(x)是定義在r上的函式,f(x2)(1f(x))1f(x)(1)試證:f(x)是週期函式(2)若f(1)2
3,求f(1997),f(1999),f(2001)
12f(x)f(x),試證f(x)是周
214.[能力提高]:對於x1,x2r,有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2).若f(0)0,存在
m0,f(m)0(1)寫出乙個滿足上式函式(2)證yf(x)是週期函式
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15.[典型例題]:定義在r上的偶函式f(x)以2為週期,已知當x2,3時,f(x)x,那麼f(x)在x
第□講2,0時的解析式為:
(a)f(x)x4(b)f(x)2x(c)f(x)3x1(d)f(x)2x1
的圖象關於x1對稱,當x1時,f(x)(x1)21,則當x1時,f(x)解析式:
(a)f(x)(x3)1(b)f(x)(x3)1(c)f(x)(x3)1(d)f(x)(x1)122
2217.[同類變式]:已知函式f(x)是定義在r上奇函式,且滿足f(x2)f(x),當0x1時,f(x)
12x,則f(x)
12的x等於:
(a)2n(nzb)2n-1(nz) (c)4n+1(nz) (d)4n-1(nz)
18.[能力提高]:已知yf(x)的乙個週期為t(t>0) ,x(0,t)有yf
(a)f11
(x),當x(t,2t)時,y
1(x)(b)f
1(xt)(c)f
1(xt)(d)f(x)t
19.設f(x)是定義在r上以2為週期的函式,對kz,用ik表示區間(2k1,2k1),已知x
i0時,f(x)x
2(1)求f(x)在ik上的解析表示式(2)對自然數k,求集合mka
方程f(x)ax在ik上有兩個不相等實根.
20.已知f(x)滿足f(x)f(6x)和f(x)f(2x),若f()f(2000),5,9,且f(x)在
5,9有反函式,則α的值是:
(a) 5b) 6c) 7d) 8
21.設f (x)定義在r上偶函式，g（x）定義在r上奇函式，g（x）=f (x－１)，g（－１）=2007，f (2006)=：a2006b－2006c－2007d200722．設f (x+3)= 1－f (x)，f (x)= f (－x)，０＜ｘ≤１，f (x)＝－２ｘ，則f (17.
5)=：a1b－1c－11d11
23.[備用題群]:函式f(x)定義在實數集上,且對一切x滿足等式f(x2)f(2x)和
f(7x)f(7x),設f(x)0的乙個根是x0,記f(x)0在區間1000x1000中根的個數
為n,求n的最小值.24.
f(x)定義
在r上函
數,對任
意的x,都
有f(x3)f(x)3和f(x2)f(x)2,設g(x)f(x)x,(1)求證:g (x)為週期函式.
[反思總結]:第頁
抽象函式的對稱性與週期性
一 性質1 若函式y f x 關於直線x a軸對稱，則以下三個式子成立且等價 1 f a x f a x 2 f 2a x f x 3 f 2a x f x 性質2 若函式y f x 關於點 a，0 中心對稱，則以下三個式子成立且等價 1 f a x f a x 2 f 2a x f x 3 f 2...
第7講函式的奇偶性週期性對稱性
基礎檢測 1 已知是定義在上週期為的奇函式，當時，則 a 2bc 2d 5 答案 a 解析 試題分析 因為是定義在上週期為的奇函式，所以，故選a。考點 函式的奇偶性和週期性 2 設是定義在上的偶函式，則的值域是 a b c d 與有關，不能確定 答案 a 解析 試題分析 函式是偶函式，定義域對稱 所...
函式的對稱性總結
函式是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函式的性質是競賽和高考的重點與熱點，函式的對稱性是函式的乙個基本性質，對稱關係不僅廣泛存在於數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關係還充分體現了數學之美。本文擬通過函式自身的對稱性和不同函式之間的對稱性...