抽象函式問題是高中數學函式部分的難點，也是高中與大學函式部分的銜接點。這類問題既能全面地考查學生對函式概念的理解及性質的代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解和接受能力、以及對一般和特殊關係的認識。近年在一些高考試卷中或地方模擬卷中時常會出現抽象函式。
一、換元策略使抽象函式具體化
對於抽象函式，可以通過換元化抽象為具體，轉化為具體函式可求解，同時要注意新元的取值範圍。
例1 已知函式f(x)的值域，試求的值域。
解：由，得，於是，令=t，，，所以=＋1，因則當t=1時，y不能取得最大值1，所以只能在函式圖象的對稱軸的左側取得最值。
由對稱軸t=1及拋物線開口向下，函式在上是增函式，則時，y取最小值，當時，y取最大值故所求值域為。
二、圖象示意策略使抽象函式形象化
一般地講，抽象函式的圖象為示意圖居多，有的示意圖可能只能根據題意作出n個孤立的點，但通過示意圖卻使抽象變形象化，有利於觀察、對比、減少推理、減小計算量等好處。
例2 函式f(x)在［0，3］上是增函式，函式是偶函式，則請比較，f(5)，的大小。
分析：根據已知作合乎題意的最簡單、最直觀的增函式f(x)=x，［0，3］的圖象oa，由於是由的圖象左移3個單位得到，所以圖象是線段o1a1，又因為函式是偶函式，所以圖象關於y軸對稱，所以y=f(x+3)在上圖象為線段a1o2把線段a1o2，右移3個單位為ao3是f(x)在上的圖象，通過圖象不難看出。
圖1例3 若定義在r上的奇函式f(x)在（，0）內是增函式，則xf(x)<0的解集為（ ）
a. b.
c. d.
分析：因為f(x)是定義在r上的奇函式，所以f(0)=0，且f(x)的影象關於原點對稱。
根據題設條件可以作出函式f(x)在r上的大致圖象，由xf(x)<0得：x與f(x)異號。
由影象可得解集為，選擇（a）。
圖2三、「穿脫」策略使問題簡化
加上函式符號即為「穿」，去掉函式符號即為「脫」。對於有些抽象函式，可根絕函式值相等或者函式的單調性，實現對函式符號的「穿脫」，以達到簡化的目的。
例4 已知f(x)是定義在（0，）上的增函式，且，若f(6)=1，解不等式。
分析：由，得：，所以f(36)=2。而「穿」得。即。
又根據f(x)是定義在（0，）上的增函式，「脫」得。
在結合函式的定義域可得：
四、模型化策略使解題思路明朗化
模型化策略，就是根據題目給定的關係大膽猜想抽象函式的生成原始模型，作出目標猜想，利用模型函式的有關性質去探索解題方法。對於選擇、填空題，可用模型函式解決；對於解答題則可以起到啟迪思路並起驗證作用。
例5 已知函式f(x)對任何，總有，且當x>0時，。（1）判斷函式的奇偶性，（2）判斷函式f(x)在r上的單調性。
分析：對任何，總有，可猜想抽象函式f(x)生成的原形函式：f(x)=kx，由x>0時，f(x)<0。
知k<0，所以問題（1）、（2）的答案可大膽猜想如下：（1）函式f(x)是奇函式，（2）函式f(x)在r上是減函式。儘管這只是對問題的猜想不是嚴格的證明，但帶著結論去探求解答，思考線索明朗了，更加有的放矢了。
一般地對函式f(x)來說：
（1）若滿足，則可構造模型函式，（k≠0）；
（2）若滿足，則可構造模型函式，（m≠0）；
（3）若滿足或者，則可構造模型函式f(x)=xn；
（4）若滿足或者，則可構造模型函式（a>0，a≠1）；
（5）若滿足或者，則可構造模型函式f(x)=(a>0，a≠1)。
五、賦值策略使問題有規律化
抽象函式常常以函式方程的形式出現，解決這類問題的時候讓變數取一些特殊值或特殊式，從而使問題解決，並具有一定的規律性。
例6 已知f(x)是定義在上的函式，滿足對任意都有=，請判斷函式的奇偶性。
簡析：在條件中，取x=y=0，得再取得=0，所以函式f(x)是奇函式。
例7 設函式f(x)的定義域為r，對任意都有，
且，求。
解：因為對任意都有
所以令，則，。
所以，。
由f(1)=a>0，得到
所以，，由此規律可得。
與抽象函式有關的問題
1.已知是定義在r上的偶函式在 0 上是減函式，證明 在 0,上是增函式。2.已知函式是奇函式，當1 x 4時，x2 4x 5，求當 4 x 1，函式的解析式。3.已知y 的定義域為r，且,若x 2時，求當x 2時，的解析式。4.是定義在r上的奇函式，在區間上是減函式，且 0 求證 在區間上是增函式...
抽象函式的問題和方法 教師版
一 抽象函式的定義域問題 例1 已知函式的定義域是 1，2 求的定義域 定義域是 1，4 例2 已知函式的定義域是 1，2 求函式的定義域 定義域是 1，二 抽象函式的值域問題 例3 1 已知函式f x 的值域為，求函式的值域。2 函式g x 是定義在r上的週期為1的函式，若在 0，1 上的值域為 ...
抽象函式的解題方法
解抽象函式的常用方法 抽象函式是指沒有給出具體解析式的函式。此類函式試題既能全面地考查學生對函式概念的理解及性質的代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解和轉化能力，以及對一般和特殊關係的認識，因此備受命題者的青睞，成為高考熱點。然而，由於抽象函式本身的抽象性 隱蔽性，大多數學生在解...