一、定義域問題和值域問題：
ⅰ）定義域和值域
例1 已知函式
例2 （1）定義域是r ，求的取值範圍.
（2）值域是r，求的取值範圍。
2）定義域和有意義
例3 已知函式
例4 (1)若此函式在(-∞,1)上有意義，求的取值範圍.
(2)若此函式的定義域為(-∞,1)，求的取值範圍.
分析：注意定義域和有意義是有區別的。
二、單調性問題
對於復合函式的單調性問題，要分兩步進行：第一先考慮定義域；第二再考慮單調性，在這一步中，要注意復合函式的單調性的判定法則（同向為增，異向為減。簡稱「同增異減」）。
例3、求函式單調區間。
三、對稱性問題和奇偶性問題：
（1）若函式在其定義域上滿足，則函式的圖象關於直線對稱；
（2）奇偶性問題的判定方法：1、先特殊判定，後定義證明；2、是對數函式的，先考慮真數，後證明結論。
例4、已知函式，討論的奇偶性。
例5、設是定義在r上的奇函式，且滿足，若時，，求在上的解析式。
例6、設是定義在[-1，1]上的偶函式，與的圖象關於直線對稱。且當時，，求函式的表示式；
五、週期性問題
在函式的定義域內，存在非零常數t，使得，則函式叫做週期函式，t叫做函式的乙個週期。
推廣：若t是函式的乙個週期，則
例7、已知奇函式滿足，當時，，則。
。六、換元法解綜合題
例8、設對所有實數x，不等式
恆成立，求a的取值範圍．
函式綜合題重點題型歸納
1、已知函式.
（ⅰ）求曲線在點m（）處的切線方程；
（ⅱ）設a>0. 如果過點（a, b）時作曲線y=f（x）的三條切線，證明：
2、設函式．
（ⅰ）證明：的導數；（ⅱ）若對所有都有，求的取值範圍．
3、已知函式，．
（1）討論函式的單調區間；
（2）設函式在區間內是減函式，求的取值範圍．
4、設函式.
(ⅰ)求的單調期間； (ⅱ)如果對任何，都有，求a的取值範圍.
5、設函式有兩個極值點，且
（i）求的取值範圍，並討論的單調性； （ii）證明：
6、已知，其中是自然常數，
（1）討論時, 的單調性、極值； （2）求證：在（1）的條件下，；
（3）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
7、已知函式(r)的乙個極值點為.方程的兩個實根為, 函式在區間上是單調的.
(1) 求的值和的取值範圍; (2) 若, 證明:
8、設函式在兩個極值點，且
（i）求滿足的約束條件，並在直角座標平面內，畫出滿足這些條件的點的區域；
(ii)證明：
函式綜合題重點題型歸納【答案】
1、解：（ⅰ）求函式的導數：
曲線處的切線方程為：即
（ⅱ）如果有一條切線過點（a，b），則存在t，使
於是，若過點（a，b）可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數根，記則
當t變化時，變化情況如下表：
由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有乙個實數根；
當時，解方程，即方程只有兩個相異的實數根；
當時，解方程，即方程只有兩個相異的實數根
綜上，如果過可作曲線三條曲線，即有三個相異的實數根，則
即2、解：（ⅰ）的導數．由於，
故．（當且僅當時，等號成立）．
（ⅱ）令，則，
（ⅰ）若，當時，，故在上為增函式，所以，時，，即．
（ⅱ）若，方程的正根為，
此時，若，則，故在該區間為減函式．
所以，時，，即，與題設相矛盾．
綜上，滿足條件的的取值範圍是．
3、 解：（1）求導：
當時，，，在上遞增當，求得兩根為
即在遞增，遞減，遞增
（2），且解得：
4、解：（ⅰ）
當（）時，，即；
當（）時，，即．
因此在每乙個區間（）是增函式，
在每乙個區間（）是減函式． 6分
（ⅱ）令，則
故當時，．又，所以當時，，即．
當時，令，則．故當時，
因此在上單調增加．故當時，，即
於是，當時，．
當時，有．因此，的取值範圍是． 12分
5、解: （i）
令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大於的不相等的實根，其充要條件為，得
⑴當時，在內為增函式；
⑵當時，在內為減函式；
⑶當時，在內為增函式；
（ii）由（i），
設，則⑴當時，在單調遞增；
⑵當時，，在單調遞減。
故6、解：（1）， ……1分
∴當時，，此時單調遞減
當時，，此時單調遞增 …………3分
∴的極小值為 ……4分
（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，∴ ，
令，， …………6分
當時，，在上單調遞增 ………7分
∴ ∴在（1）的條件下，
（3）假設存在實數，使（）有最小值3，
① 當時，，所以 ， 所以在上單調遞減，
，（捨去），所以，此時無最小值. …10分
②當時，在上單調遞減，在上單調遞增
，，滿足條件. ……11分
③ 當時，，所以，所以在上單調遞減，，（捨去），所以，此時無最小值.
綜上，存在實數，使得當時有最小值3.……14分
7、 (本小題主要考查函式和方程、函式導數、不等式等知識, 考查函式與方程、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力)
(1) 解:∵, ∴.
∵的乙個極值點為, ∴.
當時,;當時,;當時,;
∴函式在上單調遞增, 在上單調遞減,在上單調遞增.
∵方程的兩個實根為, 即的兩根為,
∵ 函式在區間上是單調的, ∴區間只能是區間, ,之一的子區間.
由於,故.
若,則,與矛盾.∴.
∴方程的兩根都在區間上6分
令,的對稱軸為,
則解得. ∴實數的取值範圍為.
說明:6分至8分的得分點也可以用下面的方法.
∵且函式在區間上是單調的,∴
由即解得. ∴實數的取值範圍為
(2)證明:由(1)可知函式在區間上單調遞減,
∴函式在區間上的最大值為, 最小值為.
∵,10分 令, 則,.
設, 則. ∵, ∴.
函式在上單調遞增.
∴.8、分析（i）這一問主要考查了二次函式根的分布及線性規劃作可行域的能力。
大部分考生有思路並能夠得分。由題意知方程有兩個根
則有故有
右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區域。
(ii)這一問考生不易得分，有一定的區分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標中的，（如果消會較繁瑣）再利用的範圍，並借助（i）中的約束條件得進而求解，有較強的技巧性。
解： 由題意有①又②
消去可得．又，且
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