（一）冪函式
1．定義：形如y=xn（n∈r）的函式，叫做冪函式。
2．冪函式y=xn (nr)的圖象與性質
例（2023年全國高考題第6題）圖中曲線是冪函式 y = xn在第一象限的圖象，已知n 取 ± 2 ，± 1/2四個值，則相應於曲線c1、c2、c3、c4的 n 依次為_______.
（a）–2,–1/2 ，1/2，2
（b）2，1/2,–1/2 ，–2
（c）–1/2 ,1/2,–2 , 2 ,
（d）2,1/2 ,– 2 ,–1/2
3．基本概念應用
例1．已知冪函式f（x）的圖象經過點（2，），則f（4）的值為 ( )
a．16 b cd 2
例2．（冪函式性質的應用）
（1）若a>0，則
a． b． >>
c． > > d． >>
（2）三個數的大小順序為
a．b（3）比較與的大小 (其中a>b>0,c>0)
解與可分別看成冪函式y=，
當時的函式值，因為c>0,所以函式y=，
是增函式,由a>b>0得0<,所以<
例3．確定實數a的取值範圍：
解：f（x）=在（-∞，0）∞）及（0，∞）上分別是減函式，且x>0時, f（x）>0;x<0時, f（x）<0.
∴或或∴a<-4或-練習:（1）;（2）;
（3）;（4）;
例4.研究下列函式的奇偶性、單調性和最值畫出其圖象。
（12）
解（1）函式，即它的定義域為x
∵=偶函式
單調性：設且則
0<<, ,函式在遞增
設且則>>0,
函式在上是遞減
圖表：先畫出y軸右側圖象,對稱到左側,列出下表：
函式圖象如右圖
（2）函式，那定義域
奇偶性：定義域關於原點不對稱，所以非奇非偶。
單調性：設，則：
函式在上遞增
最值：函式最小值為零，無最大值
圖象：函式的定義域是，圖象只出現在y軸右側，其函式值可列出下表：
例5．已知函式，g（x）與f（x）關於m對稱，①求g（x）的解析式，並求出g（x）的單調區間；②若a>b>0，c=，求證：g（a）+g（c）>。
解: ①設(x,y)是滿足g(x)的點,則(x,y)關於m對稱的點(-1-x,1-y),
代入得:1-y=-,∴y=
又g(x)= =1- ∴（-∞，-1）和（-1，∞）都是g(x)的單調遞減區間.
②∵a>b>0, ∴c=>0
a+c=a+=(a-b)+b+3
∴g(a)+g(c)= +>+==g(a+c) g(3)=
∴g（a）+g（c）>
（二）指數函式
1．指數函式的定義:形如y=ax（a>0且a≠1）的函式,叫做指數函式.
2．指數函式y=ax（a>0且a≠1）的圖象與性質
例在同一座標系中，四個函式y = ax ， y = bx ，y = cx ，y = dx的圖象如右圖所示，則a、b、c、d的大小關係為__a___.
a. a> b > 1 > c > d
b. b > a > 1 > c > d
> b > 1 > d > c
> a > 1 > d > c
3．基本應用
例1．比較下列各組數的大小
(1)(2)(3)、、; (答: <<)
(4)0.42、20.4、log；(答: 0<0.42<1, 20.4>20=1, log< log=0)
(5) 。 (答:0.20.3<0.20.2<0.30.2或0.20.3<0.30.3<0.30.2)
例2．設0a． < b． < c． < d． <
例3．函式與具有不同的單調性，則與的大小關係是 （ d ）
a． ab d．不能確定
解: a或a>b
例4．（1）函式的定義域是 （ ）
a． bc． d．
（2）若函式是減函式，則x的取值範圍是 （ ）
a． b． c．r d．
（3）當時，的值域是 （ ）
a． b． c． d．
（4）求函式的值域。
（5）求函式的單調遞減區間。
（6）若f(x)在上是減函式，而在上是增函式，則實數a的取值範圍是 （ ）
a． (0,1) b． (0,1) c． d．
例5．設，求函式的最小值為（ ）
（三）對數函式
1．對數的概念及其性質
（1）對數的概念：ab=n（a>0,a1）
（2）對數的性質：
①log=log
②log
③（m、n>0,a>0,a1）
推廣：④換底公式：（a，b>0，a1，b1）。
例1．求下列各式的值。
（1）log535+2log-log5-log514。（=2）
（2）+log3。（=1）
例2．求值：
（1）（）；
（2）lg tg10+lgtg20+lgtg30+…+lgtg880+lgtg890。
解 （1）∵log
∴原式=n·log。
（2）∵lgtga+lgtg（90-a）=lgtga·ctga=0,
∴原式=(lg tg10+lg tg890)+(lg tg20+lg tg880)+…+(lg tg440+lg tg460)+lg tg450=0
例3 ．（1）設10=4，b=lg5，求10的值；
（2），則
（3）設2x=log，求的值。
解 （1）由b=lg5，得，∴10=。
(2) ∵∴a=log210,b=log510 ∴lg2+lg5=1.
(3)2x=log，得x=log，∵a，
∴=。例4．（1）已知log=a，log，用a，b表示log；
（2）已知log求的值。
解 （1）log==
又 ∵log=。
（2）∵a=x，b=，∴。
2．對數函式
（1）對數函式定義：形如y=logax（a>0且a≠1）的函式,叫做對數函式.
（2）對數函式的圖象與性質
例在同一座標系中，三個函式y =logax, y = logbx , y = logcx的圖象如右圖所示，則a、b、c的大小關係為______.
> c > b
> b > c
> a > c
> a > b
3.基本應用
例1.已知1例2.已知》,比較m、n、1三者之間的大小。
解當m>1,00, <0, ∴不等式成立.
當》0時,得<,∴1當0>>時,得<,∴0綜上m>1>n>0,或1例3.(1)若，則a的取值範圍是
(2)函式的單調遞增區間是
(3)已知a>0且a≠1,函式f(x)=logax在定義域[2,3]上的最大值比最小值大1 ,則的值 .(a=,)
例4.設f（x）=（a>0,a1）
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論函式f(x)的單調性；
(3)解方程f(2x)= 。
(四)指數方程與對數方程
例1.解下列指數方程：
(12) =·;
(3)5x-52-x+24=04).
解 （1）==，
∴2-4x=x，∴x=。
（2）方程兩邊同除以·，得
，∴x=4。
例2.解下列對數方程：
(1)lg（x+2）-lg（2x2+x-6）+1=0；
(2) =log2(2x+3)
(3)logx2log2x2=log4x2
(4)。
解 （1）lg10（x+2）=lg（2x2+x-6），10（x+2）=2x2+x-6，
2x2-9x-26=0。
解方程，得
經檢驗：x=-2是原方程增根，原方程的根是。
（4）兩邊取對數 lg，∴ 2lgx-3=0。
解方程，得
lgx=1，或lgx=-3。∴。
經檢驗，都是原方程的解。
例12解不等式： （a>0,b>0）。
解由，得
>0，即。
∴或（捨去）。
當a>b時,x>；當a當a=b時，不等式無解。
(五)綜合應用
例1．已知a>0,a，函式與的圖象只可能是( )
例2．知:00,a1,比較和的大小.
解法1: 當a>1時,
-=--=->0,
∴>.
當0-=+=>0,
∴>.
綜上,在題設條件下,總有》.
解法1:
∵===
=>=1
∴>.
例3．已知函式，其中a為正常數，且a>1。
1 求f（x）的定義域；
2 求f（x）的反函式；
3 判斷y=f（x）的圖象是否關於直線y=x對稱。
4 判斷f（x）在定義域內單調性，並用定義加以證明。
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本資料 於 七指數函式和對數函式複習題 一選擇題 1 如果，那麼a b間的關係是 a b c d 2 已知，則函式的圖象必定不經過 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 3 與函式y x有相同圖象的乙個函式是 a b，且 c d 且4 函式的定義域為e，的定義域為f，則 abcd ...