一、定位問題優先法（特殊元素和特殊位置優先法）
例、由可以組成多少個沒有重複數字五位奇數？
分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，應優先考慮。末位和首位有特殊要求。
先排末位，從三個數中任選乙個共有種組合；然後排首位，從和剩餘的兩個奇數中任選乙個共有種組合；最後排中間三個數，從剩餘四個數中任選三個共有種排列。由分步計數原理得。
變式、種不同的花種在排成一列的花盆裡，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆裡，問有多少不同的種法？
分析：先種兩種不同的葵花在不受限制的四個花盒中共有種排列，再種其它葵花有種排列。由分步計數原理得。
二、相鄰問題**法
例、人站成一排 ，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法？
分析：分三步。先將甲乙兩元素**成整體並看成乙個復合元素，將丙丁兩元素也**成整體看成乙個復合元素，再與其它元素進行排列，同時在兩對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理得。
變式、某人射擊槍，命中槍，槍命中恰好有槍連在一起的情形的不同種數為
分析：命中的三槍**成一槍，與命中的另一槍插入未命中四槍形成的五個空位，共有種排列。
三、相離問題插空法
例、乙個晚會節目有個舞蹈，個相聲，個獨唱，舞蹈不能連續出場，則節目出場順序有多少種？
分析：相離問題即不相鄰問題。分兩步。第一步排個相聲和個獨唱共有種排列，第二步將個舞蹈插入第一步排好後形成的6個空位中（包含首尾兩個空位）共有種排列，由分步計數原理得。
變式、某班新年聯歡會原定的個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目，如果將這兩個新節
目插入原節目單中且不相鄰，那麼不同插法的種數為
分析：將個新節目插入原定個節目排好後形成的6個空位中（包含首尾兩個空位）共有種排列，
由分步計數原理得
四、定序問題除序（去重複）、空位、插入法
例、人排隊，其中甲、乙、丙人順序一定，共有多少種不同的排法？
分析：（除序法）除序法也就是倍縮法或縮倍法。對於某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然後用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數。
共有不同排法種數為：。
（空位法）設想有把椅子，讓除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有種坐法；甲、乙、丙坐其餘的三個位置，共有種坐法。總共有種排法。
思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎？（可以）
插入法）先選三個座位讓甲、乙、丙三人坐下，共有種選法；餘下四個空座位讓其餘四人就坐，共有種坐法。總共有種排法。
變式、人身高各不相等，排成前後排，每排人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少種不同的
排法？分析：人身高各不相等且從左至右身高逐漸增加，說明順序一定。若排成一排，則只有一種排法；現排成前後兩排，因此共有種排法。
五、平均分組問題倍除法（去重複法）
例、本不同的書平均分成堆，每堆本，有多少種不同的分法？
分析：分三步取書有種分法，但存在重複計數。記本書為，若第一步取，第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有、、、、共種分法 ，而這些分法僅是一種分法。
總共應有種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，分組後一定要除以（為均分的組數），避免重複計數。
變式①、將個球隊分成組，一組個隊，其它兩組個隊，有多少種不同的分法？
分析：分三步。第一步取個隊為一組，有種分法；餘下個隊平均分成兩組，每組個隊，有種分法，但存在重複計數。
記個隊為，若第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有共種分法，而這種分法是同一種分法。總共應有種分法。
變式②、名學生分成組，其中一組人，另兩組人，正、副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法？
分析：㈠總的分組方法：分三步。
第一步取人為一組，有種分法；餘下個人平均分成兩組，每組個人，有種分法，但存在重複計數。記個人為，若第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有共種分法，而這種分法是同一種分法。總共應有種分法。
㈡正、副班長同分在人一組：分三步。第一步在人中取人，加上正、副班長共人為一組，有種分法；餘下個人平均分成兩組，每組個人，有種分法，但存在重複計數。
記個人為，若第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有共種分法，而這種分法是同一種分法。總共應有種分法。
㈢正、副班長同分在人一組：分三步。第一步在人中取人，有種分法；第二步在餘下的人中取人，有種分法；第三步餘下人加上正、副班長形成一組，只有一種分法。總共應有種分法。
㈠減㈡減㈢得：總共有種分法。
變式③、某校高二年級共有個班級，現從外地轉入名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安
排名，則不同的安排種數為
分析：分三步。前兩步將轉入的名學生平均分成兩組，每組名學生，有種分法，但存在重複計數。
記名學生為，若第一步取，第二步取，該分法記為，則在中還有共種分法，而這種分法是同一種分法。第三步將分成的兩組分配到個班級，有種分法。總共應有種分法。
六、元素相同問題隔板法
例、有個運動員名額，分給個班，每班至少乙個，有多少種分配方案？
分析：隔板法也就是檔板法。分兩步。
第一步：每班分配個名額，只有種分法；第二步：將剩下的個名額分配給個班。
取塊相同隔板，連同個相同名額排成一排，共個位置。由隔板法知，在個位置中任取個位置排上隔板，有種排法。每一種插板方法對應一種分法，由分步計數原理知，共有種分法。
變式①、個相同的球裝入個盒中，每盒至少一球，有多少中裝法？
分析：分兩步。第一步：
每盒先裝入個球，只有種裝法；第二步：將剩下的個球裝入個盒中。取塊相同隔板，連同個相同的球排成一排，共個位置。
由隔板法知，在個位置中任取個位置排上隔板，有種排法。每一種插板方法對應一種裝法，由分步計數原理知，共有種裝法。
變式②、，求這個方程的自然數解的組數。
分析：取塊相同隔板，連同個相同的排成一排，共個位置。由隔板法知，在個位置中任取個位置排上隔板，有種排法。每一種插板方法對應一組數，共有組數。
七、正難問題則反總體淘汰法（若直接法難，則用間接法）
例、從十個數字中取出三個，使其和為不小於的偶數，不同的取法有多少種？
分析：直接求不小於的偶數很困難，可用總體淘汰法。十個數字中有個偶數個奇數，所取的三個數字含有個偶數的取法有，只含有個偶數的取法有，和為偶數的取法共有。
淘汰和小於的偶數共種、、、、、、、、，符合條件的取法共有。
變式、乙個班有名同學，從中任抽人，正、副班長、團支部書記至少抽到一人的抽法有多少種?
分析：未抽到正、副班長、團支部書記的抽法有種；正、副班長、團支部書記至少抽到一人的抽法有種。
八、重排問題求冪法
例、把名實習生分配到個車間實習，共有多少種不同的分法？
分析：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有種分法，把第二名實習生分配到車間也有種分法，依此類推，由分步計數原理共有種不同的分法。
變式①、某班新年聯歡會原定的個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目，如果將這兩個新節目插入原節目單中，那麼不同插法的種數為
分析：完成此事共分兩步：把第乙個新節目插入原定個節目排後形成的六個空中，有種插法；把第二個新節目插入前面個節目排後形成的七個空中，有種插法。由分步計數原理共有種不同的插法。
變式②、某層大樓一樓電梯上來名乘客，他們到各自的一層下電梯，下電梯的下法有多少種？
分析：完成此事共分八步：第一名乘客下電梯有種下法，第二名乘客下電梯也有種下法，依此類推，由分步計數原理共有種不同的下法。
九、環（圓）排問題直排法
①環形排列問題：如果在圓周上個不同的位置編上不同的號碼，那麼從個不同的元素的中選取個不同的元素排在圓周上不同的位置，這種排列和直線排列是相同的；如果從個不同的元素的中選取個不同的元素排列在圓周上，位置沒有編號，元素間的相對位置沒有改變，不計順逆方向，這種排列和直線排列是不同的，這就是環形排列的問題。
②環形排列數：
乙個個元素的環形排列，相當於乙個有個頂點的多邊形，沿相鄰兩個點的弧線剪斷，再拉直就是形成乙個直線排列，即乙個個元素的環形排列對應著個直線排列。
設從個元素中取出個元素組成的環形排列數為個，則對應的直線排列數為個。
又因為從個元素中取出個元素排成一排的排列數為個，所以，即。
③環形排列數公式：
㈠從個元素中取出個元素組成的環形排列數為。
㈡個元素的環形排列數為。
例、人圍桌而坐，共有多少種坐法？
分析：圍桌而坐與坐成一排的不同點在於坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人並從此位置把圓形展成直線（如圖所示），其餘人共有種不同的坐法。
變式、顆顏色不同的鑽石，可穿成幾種鑽石圈？
分析：可穿成種不同的鑽石圈。
十、多排問題單排法
例、人排成前後兩排，每排人，其中甲、乙在前排，丙在後排，共有多少種排法？
分析：人排前後兩排，相當於人坐把椅子，可以把椅子排成一排。先排前個位置上的個特殊元素甲、乙有種排法；再排後個位置上的個特殊元素丙有種；其餘的人在個位置上任意排列有種。
共有種不同的排法。排好後，按前人為前排，後人為後排分成兩排即可。
變式、有兩排座位，前排個座位，後排個座位。現安排人就坐，規定前排中間的個座位不能坐，並且這人不左右相鄰，那麼不同坐法的種數為
分析：①前後兩排共有個座位。②前排中間第號個座位甲、乙二人不能坐。
③甲、乙二人不能左右相鄰。前排第號和後排第號個座位，甲、乙中任一人就坐，有種坐法，與之相鄰座位只能排除乙個，另一人有種坐法，共有種坐法；而其它個座位，甲、乙中任一人就坐，有種坐法，與之相鄰座位要排除兩個，另一人有種坐法，共有種坐法。總共有種不同坐法。
十一、排列組合混合問題先選後排法
例、有個不同的小球，裝入個不同的盒內，每盒至少裝乙個球，共有多少種不同的裝法？
分析：第一步從個球中選出個組成復合元素，有種方法；第二部把個元素（包含乙個復合元素）裝入個不同的盒內，有種方法。由分步計數原理得。
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排列組合的常用方法
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排列組合問題方法小結
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