四、特殊元素「優先安排法」
對於帶有特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其它元素。
【例4】用0，1，2，3，4，五個數字，組成沒有重複數字的三位數，其中偶數共有（ ）。
a． 24個 b．30個 c．40個 d．60個
分析：由於該三位數為偶數，故末尾數字必為偶數，又因為0不能排首位，故0就是其中的「特殊」元素，應優先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分為兩類： 0排末尾時，有個1。
0不排在末尾時，則有個，由分數計數原理，共有偶數=30個，答案：b
練習1、從6名志願者中選出4人分別從事翻譯、導遊、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志願者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ）
（a） 280種 （b）240種 （c）180種 （d）96種
練習2、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重複數字五位奇數.
解:由於末位和首位有特殊要求,應該優先安排,以免不合要求的元素佔了這兩個位置先排末位共有___
然後排首位共有___
最後排其它位置共有___
由分步計數原理得
五、區域性問題「整體優先法」
對於區域性排列問題，可先將區域性看作乙個元與其餘元素一同排列，然後在進行區域性排列。
【例5】7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？
分析： 甲、乙及間隔的3人組成乙個「小整體」，這3人可從其餘5人中選，有種；這個「小整體」與其餘2人共3個元素全排列有種方法，它的內部甲、乙兩人有種站法，中間選的3人也有種排法，故符合要求的站法共有種。
六、總體淘汰法
對於含有否定字眼的問題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時應注意既不能多減也不能少減。
例如在例4中，也可用此法解答：五個數字組成三為數的全排列有個，排好後發現0不能排首位，而且數字1，3也不能排末位，這兩種排法要除去，故有個偶數
七、相鄰問題用「**法」法
對於某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素「**」起來，看成乙個「大」的元素與其它的元素排列，然後再對相鄰元素內部進行排列。
【例6】7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？
分析： 把甲、乙、丙三人看作乙個「元」，與其餘4人共5個元作全排列，有種排法，而甲乙、丙、之間又有種排法，故共有種排法。
練習、計畫展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，並且水彩畫不放在兩端，那麼不同的陳列方式有（ ）
（a） （b） （c） （d）
分析：先把三種不同的畫捆在一起，各看成整體，但水彩畫不放在兩端，則整體有種不同的排法，然後對4幅油畫和5幅國畫內部進行全排，有種不同的排法，所以不同的陳列方式有種，選d。
八、不相鄰問題用「插空法」
對於某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。
【例7】在例6中， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？
分析： 先將其餘四人排好有種排法，再在這人之間及兩端的5個「空」中選三個位置讓甲乙丙插入，則有種方法，這樣共有種不同排法。
九、定序問題倍縮、空位法
對於某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列，然後用總排列數除以這幾個元素的全排列數。
【例8】(倍縮法)6個人排隊，甲、乙、丙三人按「甲---乙---丙」順序排的排隊方法有多少種？
分析： 不考慮附加條件，排隊方法有種，而其中甲、乙、丙的種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有種。
（空位法）設想有6個位置讓除甲乙丙以外的3人排列共有種方法，其餘的三個位置甲乙丙共有 1 種坐法，則共有種方法
十、元素相同問題隔板
將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數）,每份至少乙個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為
【例9】6人帶10瓶汽水參加春遊，每人至少帶1瓶汽水，共有多少種不同的帶法？
分析：將所求問題轉化——10個相同的球放到6個不同的盒子裡，每個盒子裡至少放1個球，有多少種不同的放法。
即把排成一行的10個「0」分成6份的方法數，這樣用5塊閘板插在9個間隔中，共有即共有126種不同的帶法。
練習.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少乙個,有多少種分配方案？
十一、分排問題「直排法」、環排問題線排
把幾個元素排成前後若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可採取統一排成一排的方法來處理。
【例10】7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？
分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有種。
一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有種排法
例如. 5人圍桌而坐,共有多少種坐法?
甲解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在於：坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人甲並從此位置把圓形展成直線其餘4人共有種種排法，即！
十二、列舉法
例11、 將數字1、2、3、4填在標號為1、2、3、4的四個方格裡，每格填上乙個數字，且每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有幾種？
它們是：
把符合條件的安排不重複、不遺漏的一一枚舉出來，是最簡單、最原始但也是最基本的計數方法．教材中多次應用到，高考中常用列舉法解決問題．
例12．某電腦使用者計畫使用不超過500元的資金購買單價分別60元、70元的單片軟體和盒裝磁碟，根據需要，軟體至少買3片，磁碟至少買2盒，則不同的選購方法有（ ）
a．5種 b．6種 c．7種 d．8種
解析：根據所給選項數字較小，不難用列舉法解決．
單片買3張，磁碟買2盒，花錢320元；單片買3張，磁碟買3盒，花錢390元；單片買3張，磁碟買4盒，花錢460元；單片買4張，磁碟買2盒，花錢380元；單片買4張，磁碟買3盒，花錢450元；單片買5張，磁碟買2盒，花錢440元；單片買6張，磁碟買2盒，花錢500元．故選購方式有7種，選a．
例13．從1到100的一百個自然數中，每次取出兩個數，使其和大於100，這樣的取法共有多少種？
解： 從1到100的一百個自然數中，每次取出兩個數，其中必有乙個是較小的．我們先按較小的一數枚舉，而當較小的數取定以後，使和超過100的另乙個相應較大的數不難一一例舉，所有情況如下表：
所以共有：1+2+3+…+49+50+49+…+1=2500種不同的取法．
【例14】9 人組成籃球隊，其中7人善打前鋒，3人善打後衛，現從中選5人（兩衛三鋒，且鋒分左、中、右，衛分左右）組隊出場，有多少種不同的組隊方法？
分析：由題設知，其中有1 人既可打鋒，又可打衛，則只會鋒的有6人，只會衛的有2 人。列表如下：
由表知，共有種方法。
十三、分組問題
例15：8本不同的書，按照以下要求分配，各有多少種不同的分法?⑴一堆1本, 一堆2本, 一堆5本；⑵甲得1本,乙得2本,丙得5本；⑶甲、乙、丙三人， 一人1本, 一人2本, 一人5本；⑷平均分給甲、乙、丙、丁四人；⑸平均分成四堆；⑹分成三堆,一堆4本,一堆2本,一堆2本；⑺給三人一人4本, 一人2本, 一人2本。
解析:小題⑴屬非平均分組問題,僅僅分組, 分組與順序無關，是組合問題，共有種不同的分法；小題⑵屬非平均分組定向分配問題,先分組,再分配, 但是是定向分配不涉及排序,共有種不同的分法；小題⑶屬非平均分組不定向分配問題,先分組,再分配, 與順序有關,需排序,共有種不同的分法；小題⑷屬平均分組不定向分配問題,先分組有種分法,再分配, 與順序有關, 有種排列,共有種不同的分配方法；小題⑸屬平均分組問題, 分組與順序無關，是組合問題，有種不同分法；小題⑹屬部分平均分組問題,分組與順序無關，有種不同分法；小題⑺屬部分平均分組不定向分配問題,先分組,再分配,與順序有關,有種不同分法。。
練習1：3名醫生和6名**被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫生和2名**，不同的分配方法種數共有多少？
解析：用分步計數的原理,分兩大步：
第一大步：先把 3名醫生分配到3所學校共有種(分三小步) ；
第二大步：再把6名**分配到3所學校共有種(分三小步) ；
根據分步計數原理可得（種）。
練習2：6名旅客安排在3個房間，每個房間至少安排一名旅客，則不同的安排方法種數共有多少？
解析:整體分三類：
①先把6名旅客分成1，1，4三組，有種分法，再分配到3個房間有種情況，由分步計數原理可得有種安排方法；
②先把6名旅客分成1，2，3三組，有種分法，再分配到3個房間有種情況，由分步計數原理可得有種安排方法；
③先把6名旅客分成2，2，2三組，有種分法，再分配到3個房間有種情況，由分步計數原理可得有種安排方法；
由分類計數原理，知共有不同的安排種數為90+360+90=540（種）。
練習3、 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
故共種分法。
解排列組合問題常用方法 二十種
一 定位問題優先法 特殊元素和特殊位置優先法 例 由可以組成多少個沒有重複數字五位奇數？分析 特殊元素和特殊位置有特殊要求，應優先考慮。末位和首位有特殊要求。先排末位，從三個數中任選乙個共有種組合 然後排首位，從和剩餘的兩個奇數中任選乙個共有種組合 最後排中間三個數，從剩餘四個數中任選三個共有種排列...
排列組合問題方法小結
一 排列問題 一 可重複排列問題 例1 1 有4名學生報名參加數學 物理 化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？2 有4名學生參加爭奪數學 物理 化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？解 1 2 例2 集合的子集共有多少個？二 列舉法 例3 用1 2 3 4四個數字排成三位數，並把這些數由小到...
排列組合小結
例1 某班有男生25人，女生21人，現選男生3人，女生2人分別擔任正 副班長 學委 體委 宣委，問有多少種不同的選舉方法？上題中，1 如果由25名男生中選3人擔任班長 學委 體委，女生中選2人擔任副班長 宣委，問有多少種不同的選法？2 若25名男生中選3人，21名女生中選2人，分別擔任正 副班長 學...