排列組合題型總結排列組合題型總結

排列組合題型總結

排列組合問題千變萬化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應用題時，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重複遺漏外，還應注意積累排列組合問題得以快速準確求解。

一．直接法

1．特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6這6個數字組成無重複的四位數，試求滿足下列條件的四位數各有多少個

（1）數字1不排在個位和千位

（2）數字1不在個位，數字6不在千位。

分析：（1）個位和千位有5個數字可供選擇，其餘2位有四個可供選擇，由乘法原理： =240

2．特殊位置法

（2）當1在千位時餘下三位有=60，1不在千位時，千位有種選法，個位有種，餘下的有，共有=192所以總共有192+60=252

二．間接法當直接法求解類別比較大時，應採用間接法。如上例中（2）可用間接法=252

例2 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們任意三張併排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三維書？

分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類別較複雜，因而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數個，其中0在百位的有個，這是不合題意的。

故共可組成不同的三位數-=432（個）

三．插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。

例3 在乙個含有8個節目的節目單中，臨時插入兩個歌唱節目，且保持原節目順序，有多少中插入方法？

分析：原有的8個節目中含有9個空檔，插入乙個節目後，空檔變為10個，故有=100中插入方法。

四． **法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用**法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？

分析：先將男生**在一起看成乙個大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：×=576

練習1．四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種（）

2．某市植物園要在30天內接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數較多，要安排連續參觀2天，其餘只參觀一天，則植物園30天內不同的安排方法有（）（注意連續參觀2天，即需把30天種的連續兩天**看成一天作為乙個整體來選有其餘的就是19所學校選28天進行排列）

五．閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜採閣板用法

例5 某校準備組建乙個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共種。

分析：此例的實質是12個名額分配給8個班，每班至少乙個名額，可在12個名額種的11個空當中插入7塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有種

練習1.(a+b+c+d)15有多少項？

當項中只有乙個字母時，有種（即a.b.c.d而指數只有15故。

當項中有2個字母時，有而指數和為15，即將15分配給2個字母時，如何分，閘板法一分為2，即

當項中有3個字母時指數15分給3個字母分三組即可

當項種4個字母都在時四者都相加即可．

練習2．有20個不加區別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子裡，要求每個盒子內的球數不少編號數，問有多少種不同的方法？（）

3．不定方程x1+x2+x3+…+x50=100中不同的整數解有（）

六．平均分堆問題例6 6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？

分析：分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種

練習：1．6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？

2．某年級6個班的數學課，分配給甲乙丙三名數學教師任教，每人教兩個班，則分派方法的種數。

七．合併單元格解決染色問題

例7 （全國卷（文、理））如圖1，乙個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數字作答）。

分析：顏色相同的區域可能是2、3、4、5．

下面分情況討論:

(ⅰ)當2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合併成乙個單元格，此時不同的著色方法相當於4個元素 ①③⑤的全排列數

（ⅱ）當2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形(ⅰ)類似同理可得種著色法．

（ⅲ）當2、4與3、5分別同色時，將2、4；3、5分別合併，這樣僅有三個單元格

從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有種方法．

由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72（種）

練習1（天津卷（文））將3種作物種植

在如圖的5塊試驗田裡，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，

不同的種植方法共種（以數字作答）（72）

2．（江蘇、遼寧、天津卷（理））某城市中心廣場建造乙個花圃，花圃6分為個部分（如圖3），現要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有種（以數字作答）．（120）

圖3圖4

3．如圖4，用不同的5種顏色分別為abcde五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反覆使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數．（540）

4．如圖5：四個區域坐定4個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區域的顏色不同，不相鄰區域顏色相同，不相鄰區域顏色相同與否不受限制，那麼不同的著色方法是種（84）

圖5圖6

5．將一四稜錐(圖6)的每個頂點染一種顏色，並使同一條稜的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共種（420

八．遞推法

例八一樓梯共10級，如果規定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？

分析：設上n級樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當n≥2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：

是最後一步跨一級，有an-1種走法，第二類是最後一步跨兩級，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,據此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10級樓梯共有89種不同的方法。

九.幾何問題

1．四面體的乙個頂點位a,從其它頂點與各稜中點取3個點，使它們和點a在同一平面上，不同的取法有種（3+3=33）

2.四面體的稜中點和頂點共10個點（1）從中任取3個點確定乙個平面，共能確定多少個平面？

(-4+4-3+3-6c+6+2×6=29)

(2)以這10個點為頂點，共能確定多少格凸稜錐？三稜錐 c104-4c64-6c44-3c44=141 四稜錐 6×4×4=96 3×6=18 共有114

一十．先選後排法

例9 有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選派方法有（）

a.1260種b.2025種c.2520種d.5054種

分析：先從10人中選出2人

十一．用轉換法解排列組合問題

例10．某人連續射擊8次有四次命中，其中有三次連續命中，按「中」與「不中」報告結果，不同的結果有多少種．

解把問題轉化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題． =20種

例11．個人參加秋遊帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法．

解把問題轉化為5個相同的白球不相鄰地插入已經排好的10個相同的黑球之間的9個空隙種的排列問題． =126種

例12 從1，2，3，…，1000個自然數中任取10個不連續的自然數，有多少種不同的去法．

解把穩體轉化為10個相同的黑球與990個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。

例13 某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種．

解無論怎樣走必須經過三橫四縱，因此，把問題轉化為3個相同的白球與四個相同的黑球的排列問題． =35（種）

例14 乙個樓梯共18個台階12步登完，可一步登乙個台階也可一步登兩個台階，一共有多少種不同的走法．

解根據題意要想12步登完只能6個一步登乙個台階，6個一步登兩個台階，因此，把問題轉化為6個相同的黑球與6個相同的白球的排列問題． =924（種）．

例15 求（a+b+c）10的展開式的項數．

解展開使的項為aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把問題轉化為2個相同的黑球與10個相同的白球的排列問題． =66（種）

例16 亞、歐桌球對抗賽，各隊均有5名隊員，按事先排好的順序參加擂台賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程．那麼所有可能出現的比賽過程有多少種？

解設亞洲隊隊員為a1,a2，…,a5,歐洲隊隊員為b1，b2，…，b5，下標表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為順序．比賽過程轉化為這10個字母互相穿插的乙個排列，最後師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比賽過程可表示為5個相同的白球和5個相同黑球排列問題，比賽過程的總數為=252（種）

十二．轉化命題法

例17 圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內的交點最多有多少各？

分析：因兩弦在圓內若有一交點，則該交點對應於乙個以兩弦的四端點為頂點的圓內接四邊形，則問題化為圓周上的15個不同的點能構成多少個圓內接四邊形，因此這些現在圓內的交點最多有=1365（個）

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排列組合題型總結方法

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