研究目錄
壹.研究動機
貳.研究目的
參.資料分析
一.排列和組合的定義
二.排列和組合的比較
三. 排列和組合的例項
四.題目設計
肆.活動設計
一.研究設計-排列組合
二.研究設計-純粹組合
伍.結果
1. 感想
陸.參考資料
壹.研究動機
我最喜歡玩撲克牌。只要一拿到撲克牌，我就會將他們由小排到大，由大排到小。因為這樣的排列方式可以讓我方便掌握手中的每一張牌。
而且，只要將撲克牌「排列」好，就算是拿到不理想的組合點數，經由巧妙「排列」後，有時候還能反敗為勝呢！這就是「排列」的奧秘。
而學校生活中的社團也時常見到運用組合的方式，以籃球校隊來說，有時候只要選出少數的幾個人分成兩組，就可以打全場。這是生活中的「組合」例項。
既然生活中到處都有「排列」與「組合」的例子。我想利用這次資優班的專題研究，進一步去**甚麼是「排列」？甚麼是「組合」？
排列與組合有甚麼不同？生活上還有哪些例子應用到排列與組合？
貳.研究目的
藉由這次的專題研究，我想深入**排列與組合內容與規則，比較排列與組合的不同，並嘗試去尋找、設計有關排列與組合的題目，證明生活上的確有排列與組合的例子。
參.文獻**
一.名詞定義
在介紹排列與組合的定義之前，我們先來**幾個重要的名詞：
（1） 代數m、n：
1. m
2. n【m＜n】
※在26個英文單字中，我選擇m跟n，因為我的參考書籍上也選擇m、n，但其他網頁也有用其他的英文本，所以我認為所有的英文本母都可以用，但是其中乙個數小於或等於另乙個數。
（2） 排列與組合的代詞：
1. 排列：permutations，簡稱p
2. 組合：combination，簡稱c
接下來就讓我們一起進入排列與組合的世界吧！
〈1〉排列：從n件事情中，任選m件事物〈但不可重複〉後， 排成一列，就叫做從n中取m的排列，例如：在日常生活中，把一些事物排在一起，計算有多少種排法，就是「排列」問題。
公式由法國數學家帕斯卡﹝1623-1662﹞發現：
p（n，m）＝n（n-1）（n-2）（n-3）、、、（n-m+1）
〈2〉組合：從n個不同物中，每次取m個不同物為一組，且同一的物件不計前後順序，就叫做n中取m的組合，例如：在籃球比賽中，把參賽隊分為幾個組，這種分組問題就是「組合」問題，此外，它還有重複組合這種組合方式，公式由法國數學家帕斯卡﹝1623-1662﹞發現：
c（n，m）＝p（n，m）＝n（n-1）（n-2）（n-3）…（n-m+1）
p（m，mm！
※複雜吧！在每個（）跟（）之間，因為為了快速，而略寫了乘號。而「m！」代表m階層也就是m（m-1）（m-2）（m-3）……1
2. 排列組合的比較
或許你已經看過我之前的排列與組合的定義介紹，但你可能還想不出排列與組合有甚麼不同，所以我就做了下列的**，希望你能夠更了解它們的不同。
三. 排列和組合例項
排列.1.一兔穴有進出口 4 處，問由不同進出口進出的方法有幾種？
解答：可將此問題分為進與出2個步驟來完成。進的方法有4種，對每一種進的方法有 3個出口可以出去，故由乘法原理可知，由不同一口出入的方法有4 × 3 = 12種。
2.某商店販賣5家廠商出品的牙膏，而每一家廠商出品的牙膏都有 3 種大小不同的包裝，又每種包裝均分含有氟化物及不含氟化物的 2 種，今某人欲在此商店選購一支牙膏，問方法有幾種？
解答：可將此問題分為 3 個步驟來完成。 第一步驟是從 5 家廠商中選擇一家，共有 5 種選法。
第二步驟是從 3 種包裝中選擇一種，共有 3 種選法。第三步驟是從有無氟化物中選擇一種，共有 2 種選法。故由乘法原理可知選購一支牙膏的方法共有 5 × 3 × 2 ＝ 30 種。
3.甲、乙二人在排成一列的 5 個座位中選坐相連的兩個座位，共有多少種坐法？
解答：可將此問題分為 3 個步驟來完成。 第一步驟是從 5 個座位中選出相鄰的 2 個座位，共有 4 種選法。
第二步驟是選定 2 個座位後，由甲先選坐，甲可任選其一，故有 2 種選法。 第三步驟是甲坐定後，由乙選坐，因甲已坐好，乙毫無選擇，故僅有 1 種選法。 由乘法原理知完成此件事，總共有 4 × 2 × 1 = 8 種方法。
4.將abcd排成一列，試問共有多少排法？
解答:將四個不同的字母排成一列，共有 4×3×2×1＝24種排法。
5.有男生 5 人 ，女生 3 人要排成一列，其中女生 3 人要相鄰併排，請問共有多種排法？
解答:由於女生要相鄰併排，因此可先將 3 位女生視為一體，再與 5 位男生排成一列，因此共有6！種排法，而在每一種排法中，女生的排法又有 3！種，因此共有6！
×3！＝720×6＝4320種排法。
組合.1.若要從a，b，c，d，e 五個人之中不考慮順序選出三個人作為一組，參加三對三籃球賽，將會有多少種選法?
解答：從此 5 個人當中選 3 個人出來排列，若考慮選擇的順序，則共有 5×4×3種情形，因題意是不考慮順序所以要再除以3×2×1 ，就是有10種選法。 即c（5，3）＝10
2.從6個男生，5個女生當中選出乙個五人的童子軍，但規定男女生至少各有 2 人，問有多少種選法?
解答：我們分2種情形來討論:
選出 2 個女童軍，3 個男童軍的方法數為:
c（5，2）×c（6，3）＝10×20＝200
選出 3 個女童軍，2 個男童軍的方法數為:
c（5，3）×c（6，2）＝10×15＝150
所以，總共有200＋150＝350種選法。
3.6種不同的玩具分給甲乙丙三人，如果甲得1種，乙得2種，丙得3 種，有幾種分法？
解答：c（6，3）×c（3，2）＝20×3＝60
4.從六男五女中任選四人，其中至少二男且至少一女的選法有多少種？
解答：我們分2種情形來討論:
三男一女 c（6，3）×c（5，1）＝20×5＝100
二男二女 c（6，2）×c（5，2）＝15×10＝150
所以，總共有100＋150＝250種選法。
5.一列火車有七節車廂，今有二男二女同時上火車，(1)同性選坐同一車廂的選法有多少種？ (2) 此四人剛好選坐兩節車廂且每節車廂恰坐一男一女的選法有多少種 ？
解答：(1)c（7，1）×c（7，1）＝7×7 ＝ 49
(2) c（7，2）×c（2，1）×c（2，1）＝21×2×2＝84
3. 我來做一做
生活中有許多排列組合的例項，就讓我來一一介紹我所創作的題目吧！記得，這是排列組合的混合喔！
1.同花色的 13 張撲克牌中，若把 j,q,k,a 等四張表示的牌稱為大牌，試求自此 13 張牌中任意抽出 3張， 其中恰含有二張大牌的組合數?
解答：先從4張大牌中選出2張，再從不是大牌的9張選出1張，
共有c（4，2）×c（9，1）＝54種組合。
2.六年乙班有男生18人，女生15人，學期開始要選班長、副班長，老師說：「班長、副班長由男女各一人搭配」請問，有幾種搭配方式？
解答：有兩種情形（1）班長是男生，副班長是女生。
因此c（18，1）×c（15，1）＝18×15＝270
2）班長是女生，副班長是男生
因此c（15，1）×c（18，1）＝15×18＝270
270+270＝540（種）
3.有甲、乙、丙、丁四人去旅行，他們在旅館定了a、b兩種房間，每間住兩人，請問有幾種住法？
解答： 用組合公式：c（4，2）＝6種方式
4.有4份點心，最少只吃乙份，請問，有幾種吃法？
解答：有四種情形（1）吃乙份點心，c（4，1）＝4
2）吃二份點心，c（4，2）＝6
3）吃三份點心，c（4，3）＝4
4）吃四份點心，c（4，4）＝1 4＋6＋4＋1＝15種方法
肆.活動設計
排列與組合的運用
活動一活動名稱：機械人拼圖
活動主題：排列與組合
活動說明：很多人也許不曉得連拼圖也有排列與組合， 因為拼圖在排同一種花色時所用的**並沒有一定的規則，而且可以重複，就是組合。
活動材料：大張珍珠板1張、6公分×6公分的厚色紙80張〈十種顏色，黑、淺黃、深藍、棕、深綠、淺綠、鮮黃、紅、紫、橘，每種顏色有8張〉。
活動方法：1.請同學先想乙個題目，我的機械人總共需要43張卡，，可以重複且不計較排在**，可以有幾種排法？只要寫出公式就有小禮物。
活動二活動名稱：地板中的世界
活動主題：排列
活動說明：由於我覺得我們校門口前的地板十分單調，希望藉由這個活動來腦力激盪，想像自己心目中的校門口。並且在遊戲中找出自己排列的規律。
活動材料：1公尺*2.5公尺的厚紙板5張、50公分*50公分的方形紙〈各種顏色都要有〉。
活動方法：請同學先想想看總共有10格，而我有12種顏色，如果不能重複，有幾種排法？那，可以重複呢？答對就有小禮物，在發揮創意排出想像中的地板，排出來在說出規律就有小禮物。
陸.研究結果
1. 感想
對於這次的研究主題，可能因為公升上六年級功課太多而一直改來改去，一下要做密碼，一下要做方程式……，正當我猶豫不決時，忽然撇見書上的一行字「排列」「組合」，我想到：奇怪，「排列」「組合」不是同一樣事情嗎？為甚麼要分開講呢？
一看之下，產生濃厚的興趣，這就是我研究的動機之一。
而在研究的過程中也遭遇到許多困難，像是，有時資料在蒐集時，為了搞懂，常常花了好久的時間，但卻甚麼都沒做，但幸好有老師、家長、同學的鼎力相助，才能使這個作品得以完成。
這次的研究報告，不僅使我更懂得查資料，還學會活用word，更進一步了解排列與組合，運用在生活中。而在研究的過程中，我也發現了我的缺點，希望我能夠將他們一一改進，下一次會更好！
柒.參考資料
網頁：排列與組合
排列組合小結
例1 某班有男生25人，女生21人，現選男生3人，女生2人分別擔任正 副班長 學委 體委 宣委，問有多少種不同的選舉方法？上題中，1 如果由25名男生中選3人擔任班長 學委 體委，女生中選2人擔任副班長 宣委，問有多少種不同的選法？2 若25名男生中選3人，21名女生中選2人，分別擔任正 副班長 學...
排列組合小結
一 填空 二 題形小結 1.寫出所有符合條件的排列和組合 例1 有甲 乙 丙 丁四隊進行籃球單迴圈賽 1 寫出所有冠 亞軍的可能性.2 寫出各場比賽的雙方.2.含有或的方程 不等式的證明或求解 例2 1 求證 2 已知 求m n.3.排列組合應用題 例3 已知a 問 1 集合a有個子集.2 集合a可...
排列組合公式
排列組合練習 1 90 9l 92 100 a b c d 2 下列各式中與排列數相等的是 a b n n 1 n 2 n m c d 3 若 n n且 n 20，則 27 n 28 n 34 n 等於 a b c d 4 若s 則s的個位數字是 a 0 b 3 c 5 d 8 5 用1，2，3，4...