樓主發表於: 2008-01-04 19:23:29
發現公****有好多高中的知識，但是高考已在ｎ年前，實在記不住了，在點資料大家一起複習哈．
排列、組合問題，在高考中所佔比重不大，但試題都具有一定的靈活性、機敏性和綜合性，在「倡導創新體系，提高素質教育」的今天，該類試題是最好的體現，由於有些問題比較抽象，且題型繁多，解法獨特，再加上限制條件，容易產生錯誤。本文就排列、組合問題的常見題型的求解方法加以歸納，供大家參考。
1、特殊元素——優先法：
對於含有限定條件的排列、組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其它元素。
例1，用0、2、3、4、5這五個數字，組成沒有重複數字的三位數，其中偶數共有多少個？
[解析]因組成的三位數為偶數，末尾的數字必須是偶數，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素應優先安排。①當0排在末尾時，有個；②當0不排在末尾時，有個，根據分類記數原理，其中偶數共有個。
例2，1名老師和4名獲獎學生排成一排照相留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法多少種。
[解析]優先考慮對特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上來排，有種。剩下的位置由4名學生全排列，有種。因此共有種不同的排法。
2、相鄰問題——**法：
對於某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素「**」在一起看作乙個元素與其它元素進行排列，然後再對這幾個元素進行全排列。
例3，5名學生和3名老師站成一排照相，3名老師必須站在一起的不同排法共有種。
[解析]將3名老師**起來看成乙個元素，與5名學生排列，有種排法；而3名老師之間又有種排法，故滿足條件的排法共有種。
例4，計畫展出10幅不同的畫，其中一幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，並且水彩畫不放在兩端，那麼不同的陳列方式有多少種？
[解析]把每種畫**在一起，看成乙個整體，又水彩畫較特殊，應優先安排。水彩畫放中間，油畫和國畫放兩端有種排法。再考慮油畫和國畫本身可全排列，故排列方法共有種。
3、不相鄰問題——插空法：
對於某幾個元素要求不相鄰的排列問題，可先將餘下的元素進行排列，然後在這些元素形成的空隙中將不相鄰的元素進行排列。
例5，有10個學生，其中4人中任意兩個不能站在一起，有多少種排列次序？
[解析]先將其餘6人進行排列，有種；再把不相鄰的4人分別排在前6人形成的7個空隙中，有種。所以共有種排列次序。
例6，有4名男生，3名女生站成一排，任何兩名女生彼此不相鄰，有多少不同的排法？
[解析]由於要求女生不相鄰，應先排男生，有種；然後在男生形成的5個空隙中分別安排3名女生，有種，所以共有種。
4、正難問題——排除法：
對某些排列組合問題，當從正面入手情況複雜，不易解決時，可考慮從反面入手，將其等價轉換為乙個較簡單的問題來處理。
例7，從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有
a、 140種 b、120種 c、 35種 d、 34種
[解析]先不考慮附加條件，從7名學生中選出4名共有種選法，其中不符合條件的是選出的4人都是男生，即種。所以符合條件的選法是種，故選d。
例8，四面體的頂點和各稜的中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有
a、 150種 b、147種 c、 144種 d、 141種
[解析]首先只要考慮從10個點中任取4個點的取法，有種，然後再取掉「共面」的情況：其中乙個麵內的6個點中任意4點都共面，任取4點有種；又每條稜與相對稜的中點共有6種；各稜的中點中4點共面的有3種。 故10個點中4點不共面的取法，共有種。
故選d項。
5，多元問題——合理分類與準確分步：
對於約束條件較多的排列組合問題，可能的情況也較多，可根據結果要求，按元素性質進行分類，按時間發生的連續過程分步，做到分類標準明確、分布層次清楚，不重不漏的原則。
例9，如圖，乙個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，
要求相鄰地區不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，
則不同的著色方法共有多少種？
[解析]區域1與其它4個區域相鄰，而其它器每個區域都與3個區域相鄰，因此可以塗3種或4種顏色。
①塗3種顏色有種方法；②塗4種顏色有種方法。
因此共有24+48=72種不同的著色方法。
例10，平面上4條平行直線與另5條平行直線互相垂直，則它們構成的矩形共有個
[解析]按構成矩形的過程可分為如下兩步：第一步，先在4條平行直線中取兩條，有種；
第二步，再在5條平行線中取兩條，有種，這樣取出的4條直線構成乙個矩形。根據乘法原理，構成的矩形共有個。
6，定序問題——除法：
對於某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列，然後用總排列數除以這幾個數的全排列數。
例11，由數字0、1、2、3、4、5組成沒有重複數字的六位數，其中個位數小於十位數的共有
a、 210種 b、300種 c、 464種 d、 600種
[解析]若不考慮附加條件，組成的六位數共有個，而其中個位數與十位數的種排法中只有一種符合要求，故符合要求的六位數共有個，故選b項。若將題幹中條件改為「個位數小於十位數且千位小於百位」則應為種。
7，大小排列問題——字典法：
對於數的大小順序排列問題，可以採用「查字典」的方法，逐位依次確定。
例12，在由數字1、2、3、4、5組成的所有沒有重複數字的5位數中，大於23145且小於43512的數共有
a、 56種 b、57種 c、58種 d、 60種
[解析]從高位向低位依次考慮，分3類：
①當首位是2時，若千位是4、5，則有個；若千位是3，百位是4、5，則有個；若千位是3，百位是1，則只有乙個數即23154，故當首位是2時，共有12+4+1=17個。
②當首位是3時，有個。
③當首位是4時，若千位是1、2，則有個；若千位是3，百位是1、2，則有個；若千位是3，百位是5，則只有乙個數即43512，故當首位是4時，共有12+4+1=17個數。因此滿足題意的數共有17+24+17=58個。故選c項。
例13，用0、1、2、3、4五個數組成無重複數字的四位數，若按從小到大排列，3204是第幾個數？
[解析] 從高位向低位依次考慮，分3類：
①當千位是1、2時，有個。②當千位是3時，若百位排0、1，有個；若百位排2時，比3204小的僅有3201乙個。
故比4304小的四位數共有48+12+1=61個，所以3204是第62個
8，名額分配問題——隔板法：
對某些複雜的排列問題，可通過構造相應的模型來處理。
例14，某校準備組建乙個18人的足球隊，這18人由高一年級10個班的學生組成，每個班級至少一人，名額分配方案共有多少種？
[解析]處理次類問題一般構造乙個隔板模型。取18枚棋子排成一列，在相鄰的每兩枚棋子形成的17個空隙中選取9個插入隔板，將18個棋子分隔成10個部分，第i（1≤i≤10）個部分的棋子數對應第i個班級學生的名額，因此分配方案的種數與隔板的插入種數相等，即為種。
例15，某校準備組建乙個18人的足球隊，這18人由高一年級10個班的學生組成，其中有些班級可能選不上，每班人數都在18人以上，名額分配方案共有多少種？
[解析]同樣是名額分配問題，但與前面問題有所不同，由於名額可空，即同一空隙中可插多個隔板，前面模型不再適用，應另建模型。
取18枚棋子排成一列需要18個位置，分10部分需要9個隔板，每個隔板占用乙個位置，共需18+9=27個位置。現在在這27個位置上安排9個隔板，把27個位置分成10部分。當兩個隔板相鄰時，表示這兩個位置之間沒有棋子，即此班沒有名額。
因此，分配方案的種數與隔板的插入種數相等，即為種。
9，混合問題——先選後排法：
對於排列、組合的混合問題，可採取先選取元素，再進行排列的策略。
例16，某校高二年級共有6個班，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級的2個班且每班安排2人，則不同的安排方案種數為
a、 b、c、d、
[解析]先將4名學生平均分成兩組（屬平均分組），有 = 種分法；再將這兩組學生安排到該年級6個班中的兩個班有種。所以不同的安排方法有 ，故選b項。
10，複雜問題——轉換法：
對於有些較為複雜的排列、組合問題，若不能用以上方法解決，可以採取等價轉換的方法，轉化為其它問題然後解決。
例17，從正方體的八個頂點中任取三個點作三角形，其中直角三角形的個數為
a、56 b、52 c、 48 d、 40
[解析]首先考慮到任意乙個矩形可得到四個直角三角形，於是問題轉化為先求出所有可能的矩形。分為兩類：⑴表面上的矩形有6個；⑵對角面有6個，因此所有可能的矩形有6+6=12個，相應的直角三角形共有4 12=48個。
故選c項。
例18，乙個口袋內有4個不同的紅球，6個不同的白球，從中任取4個球，若取乙個紅球記2分，取乙個白球記1分，從中任取5個球，使總分不小於7的取法有多少種？
[解析]設紅球取x個，白球取5-x個，依題設有2x+(5-x)≥7。其中x∈n, 且 。解得 2、3、4，對應 3、2、1。故取法種數為 =186種。
第31講解排列組合解題策略 生
第十三講排列組合解題策略 排列組合問題是高中學數學的重要知識板塊，在高考,自主招生,競賽中常常有所涉及,它聯絡實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，為此掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應用題的有效途徑 下面為大家介紹排列組合應用題的解題策略.1.相鄰問題 法 題目中規定...
解決排列組合問題要講究策略
一 特殊優先，一般在後 對於問題中的特殊元素 特殊位置要優先安排。在操作時，針對實際問題，有時 元素優先 有時 位置優先 例1 0 2 3 4 5這五個數字，組成沒有重複數字的三位數，其中偶數共有幾個？解法一 元素優先 分兩類 第一類，含0，0在個位有a42種，0在十位有a21 a31種 第二類，不...
排列組合問題方法小結
一 排列問題 一 可重複排列問題 例1 1 有4名學生報名參加數學 物理 化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？2 有4名學生參加爭奪數學 物理 化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？解 1 2 例2 集合的子集共有多少個？二 列舉法 例3 用1 2 3 4四個數字排成三位數，並把這些數由小到...