排列組合問題常見解法
排列組合問題是高考考察的重點，每年必考內容，常是乙個選擇題或乙個填空題，分值為5分，難度為中等難度，在分布列計算中也常用到排列組合的計算，先將排列組合問題解法介紹如下，供同學們參考。
一、元素分析法
在解有限定元素的排列問題時，首先考慮特殊元素的安排方法，再考慮其他元素的排法。
例1（06全國）安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有種（用數字作答）
解：因甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至5月7日5天中選2天安排甲、乙有種方法，再安排其餘5人，有種方法，故共有=2400種
二、位置分析法
在解有限定位置的排列問題時，首先考慮特殊位置的安排方法，再考慮其他位置的排法。
例2 題同例1
解：因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中選2人安排到5月1日、2日，有種方法，再安排其餘5天，有種方法，故共有=2400種
三、間接法
又叫排除法，在解有限定條件的排列問題時，首先求出不加限定條件的排列數，再減去不符合條件的排列數。
例3 題同例1
解：安排7人在5月1日至5月7日值班，有種方法，其中甲、乙二人都安排在5月1日和2日有種，甲、乙僅一人安排在5月1日和2日有種。不同的安排方法共有--=2400種
四、樹圖法
又稱框圖法，用樹圖或框圖列出所有排列（或組合），從而求出排列數。適合限定條件在3個以上，排列組合問題。
例4 已知集合m= ，n=,在從集合m到集合n的所有對映f中，滿足f(a)+f(b)=f(c)的對映有多少個？
解：滿足條件的映
所以滿足條件的對映有7個。
五、逐一插入法
若干元素必須按照特定的順序排列的問題，先將這些「特殊元素」按指定順序排列，再將「普通元素」逐一插入其間或兩端。
例5（06湖北）某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成後才能進行，工程丙必須在工程乙完成後才能進行，有工程丁必須在工程丙完成後立即進行。那麼安排這6項工程的不同排法種數是用數字作答）
解：（逐一插入法）先將工程甲、乙、丙、丁按指定的順序排成一排，有1種方法，將丙丁看成一項工程，再在甲、乙、丙（丁）之間和兩端的4個空檔安排其餘2項工程1項工程，有種方法，再在這4項工程之間和兩端的5個空檔安排其餘1項工程，有種方法，所以共有=20種方法。
六、消序法
若干元素必須按照特定的順序排列的問題，先將所有元素全排列，再將特殊元素在其位置上換位情況消去（通常除以特殊元素的全排列數），只保留指定的一種順序。
例6（06江蘇）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列有種不同的方法（用數字作答）
解：先將9個球排成一排有種不同的方法，其中，2個紅球有排法， 3個黃球有排法， 4個白球有排法， 因同色球不加以區分， 所以2個紅球、3個黃球、4個白球都各有1中排法，消去它們的順序得將這9個球排成一列有=1260種
七、優序法
若干元素必須按照特定的順序排列的問題，先從所有位置中按「特殊元素」個數選出若干位置，並把這些特殊元素按指定順序排上去，再將普通元素在其餘位置上全排列。
例7（06湖北）某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成後才能進行，工程丙必須在工程乙完成後才能進行，有工程丁必須在工程丙完成後立即進行。那麼安排這6項工程的不同排法種數是用數字作答）
解：先將丙丁看作1項工程，再在5個位置中選3個位置，按指定順序安排甲、乙、丙（丁）3項工程，有種方法，再在其餘2個安排其餘2項工程，有種方法，所以共有=20種方法。
八、**法
若某些元素必須相鄰，先把這幾個相鄰元素捆在一起看成乙個元素，再與其他元素全排列，最後再考慮這幾個相鄰元素的順序。
例8 （05遼寧）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重複數字的八位數，要求1與2相鄰， 3與4相鄰，5與6相鄰， 7與8不相鄰，這樣的八位數共有個。（用數字作答）
解：先將1與2、3與4、5與6各看成乙個元素，將這3個元素排成一排，有種方法，再在這3個元素之間和兩端的4個空檔中選3個安排7與8，有種方法，再排1與2、3與4、5與6的順序，各有2種方法，所以共有23=257種方法，因每一種排法對應乙個八位數，所以這樣的八位數共有257個。
九、插空法
若某些元素不相鄰，先將普通元素全排列，然後再從排就的每兩個元素之間及兩端選出若干個空擋插入這些特殊元素。
例9 有一排8個相同的座位，選3個座位坐人，要求每人兩邊都有空位，這3人有多少不同的安排方法？
解：因3個坐人的座位不相鄰，用插空法，先將5個空位排成一排有1種方法，然後在5個空位的4空檔選3個空檔安排坐人的3個座位，有=24種不同的方法，這3人有24不同的安排方法。
十、查字典法
對數的大小順序排列問題常用此法。（1）先把每乙個數字（符合條件）打頭的排列數計算出來；（2）再找下一位數字。
例10 在由1，2，3，4，5組成的所有沒有重複數字的五位數中，大於23145且小於43521的數共有（ ）
a.56 b.57 c.58 d.60
解：首位為2第二位為3第三位為1比23145大的數只有1個；首位為2第二位為3第三位比1大的數有=4個；首位為2第二大於3的數=12個；首位為3的數有24個；首位為4第二位比3小的數有=12個；首位為4第二位為3第三位比5小的數有=4個；首位為4第二位為3第三位為5比43521小的數有1個。所以大於23145且小於43521的數共有1+4+12+24+12+4+1=58個。
十一、分組問題
（1）若各組元素個數均不相同，則逐組抽取。
（2）若其中有若干組元素個數相同，則逐組選取，因元素個數相同，所以組間無差別，故除以元素個數相同組數的全排列以消序。
例11（06江西）將7個人分成三個組，一組3人，另兩組2 人，不同的分組數為a，則a為（ ）
a.105b.105c.210d.210
解：先在7人選3人作為1組，有種方法，再從其餘4人中選2人作為1組，有種方法，再把餘下2人作為1組有種方法，因後2組人數相同，故應認為這2組無序，應除以。
∴不同的分組有=105種
十二、隔板法
又叫隔牆法，插板法，n件相同物品（n個名額）分給m個人，名額分配，相同物品分配常用此法。
若每個人至少1件物品（1個名額），則n件物品（n名額）排成1排，中間有n-1個空擋，在這個n-1空檔選m-1個空擋放入隔板，隔板1種插法對應1種分法，所以有種分法。
若允許有人分不到物品 ，則先把n 件物品和m-1塊隔板排成一排，有n+m-1個位置，從這個位置中選m-1個位置放隔板，有種方法，再將n件物品放入餘下的位置，只有1種方法，m-1塊隔板將物品分成m塊，從左到右可看成每個人分到的物品數，每1種隔板的放法對應一種分法，所以共有種分法。
例12 9個顏色大小相同的分別放入編號分別為1，2，3，4，5，6的6個盒中，要求每個盒中至少放1個小球，有多少種方法？
解：（法1）將9個小球排成一排，9個小球之間有8個空擋，在這8個空擋選5個空擋放5個隔板，將9個小球分成6份，每份至少1個球，將這6份放到6個盒中，有=56種方法。
（法2）先給每個盒中放1個球，然後將餘下的3個小球和5塊隔板排成一排，排列位置有8個，先從8個位置中選5個放隔板，有=56種方法，再餘下位置放小球只有1種方法， 5塊隔板將小球分成6塊，從左到右看成6個盒所得球數，每一種隔板放法對應1種分法，故有=56種方法。
十三、排列組合綜合問題
排列組合綜合問題，應先取後排；較複雜的排列組合問題，如含「至多」、「至少」、多個限定條件問題，注意分類討論。
例14 （06陝西）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有種 。
解：由題知，若選甲，則必不選乙，必選丙，須從除甲乙丙外5人中選2人，有種方法；若不選甲，則必不選丙，須從除甲丙外6人中選4人，有種方法，再將選出的4人分到4個地區，有方法，所以不同的選派方案共有(+)=600種。
例14 現有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名青年能勝任德語翻譯工作，現在要從中挑選5名青年承擔一項任務，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？
解：（法1）我們可以分成3類：
①讓兩項工作都能擔任的青年從事英語翻譯工作，有；
②讓兩項工作都能擔任的青年從事德語翻譯工作，有；
③讓兩項工作都能擔任的青年不從事任何工作，有；
∴由分類計數原理，總的方法一共有++=42
十四、一一對映轉化法
例15 乙個樓梯共有11級台階，每步走1階或2階，7步走完，一共有多少種走法？
解：11級台階，要求7步走完，每步走1階或2階 ，顯然，必須有4步走2階，3步走1階。設每步走1階為a每步走2階為b，則原問題相當於在8個格仔選個格仔填a，其餘填b，這是乙個組合問題，所以一共有=35種不同的走法。
排列組合問題方法小結
一 排列問題 一 可重複排列問題 例1 1 有4名學生報名參加數學 物理 化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？2 有4名學生參加爭奪數學 物理 化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？解 1 2 例2 集合的子集共有多少個？二 列舉法 例3 用1 2 3 4四個數字排成三位數，並把這些數由小到...
排列組合問題的解題策略
樓主發表於 2008 01 04 19 23 29 發現公 有好多高中的知識，但是高考已在 年前，實在記不住了，在點資料大家一起複習哈 排列 組合問題，在高考中所佔比重不大，但試題都具有一定的靈活性 機敏性和綜合性，在 倡導創新體系，提高素質教育 的今天，該類試題是最好的體現，由於有些問題比較抽象，...
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