於塗色問題有關的試題新穎有趣,其中包含著豐富的數學思想。解決塗色問題方法技巧性強且靈活多變，故這類問題的利於培養學生的創新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利於開發學生的智力。本文擬總結塗色問題的常見型別及求解方法。
一、 區域塗色問題
1、 根據分步計數原理，對各個區域分步塗色，這是處理染色問題的基本方法。
例1、 用5種不同的顏色給圖中標①、②、③、④的各部分塗色，每部分只塗一種顏色，相鄰部分塗不同顏色，則不同的塗色方法有多少種？
分析：先給①號區域塗色有5種方法，再給②號塗色有4種方法，接著給③號塗色方法有3種，由於④號與①、②不相鄰，因此④號有4種塗法，根據分步計數原理，不同的塗色方法有
2、 根據共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數，再用加法原理求出不同的塗色方法種數。
例2、（2003江蘇卷）四種不同的顏色塗在如圖所示的6個區域，且相鄰兩個區域不能同色。
分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：
（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有；
（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有；
（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有；
（4）③與⑤同色、② 與④同色，則有；（5）②與④同色、③與⑥同色，則有；
所以根據加法原理得塗色方法總數為5=120
例3、（2023年全國高考題）如圖所示，乙個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？
分析：依題意至少要用3種顏色
1) 當先用三種顏色時，區域2與4必須同色，
2) 區域3與5必須同色，故有種；
3) 當用四種顏色時，若區域2與4同色，
4) 則區域3與5不同色，有種；若區域3與5同色，則區域2與4不同色，有種，故用四種顏色時共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有+2=24+224=72
3、 根據某兩個不相鄰區域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數，再用加法原理求出不同塗色方法總數。
例4用紅、黃、藍、白、黑五種顏色塗在如圖所示的四個區域內，每個區域塗一種顏色，相鄰兩個區域塗不同的顏色，如果顏色可以反覆使用，共有多少種不同的塗色方法？
分析：可把問題分為三類：
（1） 四格塗不同的顏色，方法種數為；
（2） 有且僅兩個區域相同的顏色，即只
有一組對角小方格塗相同的顏色，塗法種數為
；5) 兩組對角小方格分別塗相同的顏色，塗法種數為，
因此，所求的塗法種數為
4、 根據相間區使用顏色的種類分類
例5如圖， 6個扇形區域a、b、c、d、e、f，現給這6個區域著色，要求同一區域塗同一種顏色，相鄰的兩個區域不得使用同一種顏色，現有4種不同的顏色可解（1）當相間區域a、c、e著同一種顏色時，
有4種著色方法，此時，b、d、f各有3種著色方法，
此時，b、d、f各有3種著色方法故有
種方法。
（2）當相間區域a、c、e著色兩不同的顏色時，有種著色方法，此時b、d、f有種著色方法，故共有種著色方法。
（3）當相間區域a、c、e著三種不同的顏色時有種著色方法，此時b、d、f各有2種著色方法。此時共有種方法。
故總計有108+432+192=732種方法。
說明：關於扇形區域區域塗色問題還可以用數列中的遞推公來解決。
如：如圖，把乙個圓分成個扇形，每個扇形用紅、白、藍、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？
解：設分成n個扇形時染色方法為種
（1） 當n=2時、有=12種，即=12
（2） 當分成n個扇形，如圖，與不同色，與不同色，，
與不同色，共有種染色方法， 但由於與鄰，所以應排除與同色的情形；與同色時，可把、看成乙個扇形，與前個扇形加在一起為個扇形，此時有種染色法，故有如下遞推關係：
二、 點的塗色問題
方法有：（1）可根據共用了多少種顏色分類討論，（2）根據相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉化成區域塗色問題。
例6、將乙個四稜錐的每個頂點染上一種顏色，並使同一條稜的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那麼不同的染色方法的總數是多少？
解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。
（1） 若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點s，再從餘下的四種顏色中任選兩種塗a、b、c、d四點，此時只能a與c、b與d分別同色，故有種方法。
（2） 若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點s，再從餘下的四種顏色中任選兩種染a與b，由於a、b顏色可以交換，故有種染法；再從餘下的兩種顏色中任選一種染d或c，而d與c，而d與c中另乙個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。
（3） 若恰用五種顏色染色，有種染色法
綜上所知，滿足題意的染色方法數為60+240+120=420種。
解法二：設想染色按s—a—b—c—d的順序進行，對s、a、b染色，有種染色方法。
由於c點的顏色可能與a同色或不同色，這影響到d點顏色的選取方法數，故分類討論：
c與a同色時（此時c對顏色的選取方法唯一），d應與a（c）、s不同色，有3種選擇；c與a不同色時，c有2種選擇的顏色，d也有2種顏色可供選擇，從而對c、d染色有種染色方法。
由乘法原理，總的染色方法是
解法三：可把這個問題轉化成相鄰區域不同色問題：如圖，
對這五個區域用5種顏色塗色，有多少種不同的塗色方法？
解答略。
三、 線段塗色問題
對線段塗色問題，要注意對各條線段依次塗色，主要方法有：
1) 根據共用了多少顏色分類討論
2) 根據相對線段是否同色分類討論。
例7、用紅、黃、藍、白四種顏色塗矩形abcd的四條邊，每條邊只塗一種顏色 ，且使相鄰兩邊塗不同的顏色，如果顏色可以反覆使用，共有多少種不同的塗色方法？
解法一：（1）使用四顏色共有種
（2）使用三種顏色塗色，則必須將一組對邊染成同色，故有種，
（3）使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同色，有種
因此，所求的染色方法數為種
解法二：塗色按ab－bc－cd－da的順序進行，對ab、bc塗色有種塗色方法。
由於cd的顏色可能與ab同色或不同色，這影響到da顏色的選取方法數，故分類討論：
當cd與ab同色時，這時cd對顏色的選取方法唯一，則da有3種顏色可供選擇cd與ab不同色時，cd有兩種可供選擇的顏色，da也有兩種可供選擇的顏色，從而對cd、da塗色有種塗色方法。
由乘法原理，總的塗色方法數為種
例8、用六種顏色給正四面體的每條稜染色，要求每條稜隻染一種顏色且共頂點的稜塗不同的顏色，問有多少種不同的塗色方法？
解：（1）若恰用三種顏色塗色，則每組對稜必須塗同一顏色，而這三組間的顏色不同，
故有種方法。
（2）若恰用四種顏色塗色，則三組對稜中有二組對稜的組內對稜塗同色，但組與組之間不同色，故有種方法。
（3）若恰用五種顏色塗色，則三組對稜中有一組對稜塗同一種顏色，故有種方法。
（4）若恰用六種顏色塗色，則有種不同的方法。
綜上，滿足題意的總的染色方法數為種。
四、 面塗色問題
例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將乙個正方體的6個面塗色，每兩個具有公共稜的面塗成不同的顏色，則不同的塗色方案共有多少種？
分析：顯然，至少需要3三種顏色，由於有多種不同情況，仍應考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論
解：根據共用多少種不同的顏色分類討論
（1）用了六種顏色，確定某種顏色所塗面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已塗好後，再確定其餘4種顏色中的某一種所塗面為左側面，則其餘3個面有3！種塗色方案，根據乘法原理
（2）共用五種顏色，選定五種顏色有種方法，必有兩面同色（必為相對面），確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側面，此時的方法數取決於右側面的顏色，有3種選擇（前後面可通過翻轉交換）
(3)共用四種顏色,仿上分析可得
(4)共用三種顏色,
例10、四稜錐，用4種不同的顏色塗在四稜錐的各個面上，要求相鄰不同色，有多少種塗法？
解：這種面的塗色問題可轉化為區域塗色問題，如右圖，區域1、2、3、4相當於四個側面，區域5相當於底面；根據共用顏色多少分類：
（1） 最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時有種；
（2） 當用4種顏色時，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，此時有；
故滿足題意總的塗色方法總方法交總數為
解決排列組合中塗色問題的常見方法及策略
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