排列、組合是每年高考必定考查的內容之一，縱觀全國高考數學題，每年都有1～2道排列組合題，考查排列組合的基礎知識、思維能力.
●難點磁場
(★★★★★)有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張併排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數？
●案例**
［例1］在∠aob的oa邊上取m個點，在ob邊上取n個點(均除o點外)，連同o點共m+n+1個點，現任取其中三個點為頂點作三角形，可作的三角形有( )
命題意圖：考查組合的概念及加法原理，屬★★★★★級題目.
知識依託：法一分成三類方法；法二，間接法，去掉三點共線的組合.
錯解分析：a中含有構不成三角形的組合，如：cc中，包括o、bi、bj;cc中，包含o、ap、aq，其中ap、aq,bi、bj分別表示oa、ob邊上不同於o的點；b漏掉△aiobj；d有重複的三角形.
如cc中有△aiobj,cc中也有△aiobj.
技巧與方法：分類討論思想及間接法.
解法一：第一類辦法：從oa邊上(不包括o)中任取一點與從ob邊上(不包括o)中任取兩點，可構造乙個三角形，有cc個；第二類辦法：
從oa邊上(不包括o)中任取兩點與ob邊上(不包括o)中任取一點，與o點可構造乙個三角形，有cc個；第三類辦法：從oa邊上(不包括o)任取一點與ob邊上(不包括o)中任取一點，與o點可構造乙個三角形，有cc個.由加法原理共有n=cc+cc+cc個三角形.
解法二：從m+n+1中任取三點共有c個，其中三點均在射線oa(包括o點)，有c個，三點均在射線ob(包括o點)，有c個.所以，個數為n=c－c－c個.
答案：c
［例2］四名優等生保送到三所學校去，每所學校至少得一名，則不同的保送方案的總數是
命題意圖：本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈活應用上述概念處理數學問題的能力，屬★★★★級題目.
知識依託：排列、組合、乘法原理的概念.
錯解分析：根據題目要求每所學校至少接納一位優等生，常採用先安排每學校一人，而後將剩的一人送到一所學校，故有3a種.忽略此種辦法是：
將同在一所學校的兩名學生按進入學校的前後順序，分為兩種方案，而實際題目中對進入同一所學校的兩名學生是無順序要求的.
技巧與方法：解法一，採用處理分堆問題的方法.解法二，分兩次安排優等生，但是進入同一所學校的兩名優等生是不考慮順序的.
解法一：分兩步：先將四名優等生分成2，1，1三組，共有c種；而後，對三組學生安排三所學校，即進行全排列，有a33種.依乘法原理，共有n=c =36(種).
解法二：分兩步：從每個學校至少有一名學生，每人進一所學校，共有a種；而後，再將剩餘的一名學生送到三所學校中的一所學校，有3種.
值得注意的是：同在一所學校的兩名學生是不考慮進入的前後順序的.因此，共有n=a·3=36(種).
答案：36
●錦囊妙記
排列與組合的應用題，是高考常見題型，其中主要考查有附加條件的應用問題.解決這類問題通常有三種途徑：(1)以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.
(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列數或組合數.前兩種方式叫直接解法，後一種方式叫間接解法.
在求解排列與組合應用問題時，應注意：
(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；
(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理；
(3)分析題目條件，避免「選取」時重複和遺漏；
(4)列出式子計算和作答.
解排列與組合應用題常用的方法有：直接計算法與間接計算法；分類法與分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和**法等八種.
經常運用的數學思想是：
①分類討論思想；②轉化思想；③對稱思想.
●殲滅難點訓練
一、填空題
1.(★★★★)從集合中任取3個元素分別作為直線方程ax+by+c=0中的a、b、c，所得的經過座標原點的直線有_________條(用數值表示).
2.(★★★★★)圓周上有2n個等分點(n＞1)，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數為
二、解答題
3.(★★★★★)某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的a，有5次出牌機會，每次只能出一種點數的牌但張數不限，此人有多少種不同的出牌方法？
4.(★★★★)二次函式y=ax2+bx+c的係數a、b、c，在集合中選取3個不同的值，則可確定座標原點在拋物線內部的拋物線多少條？
5.(★★★★★)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數.
(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置.
(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊.
(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起.
(4)全體排成一行，男、女各不相鄰.
(5)全體排成一行，男生不能排在一起.
(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變.
(7)排成前後二排，前排3人，後排4人.
(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人.
6.(★★★★★)20個不加區別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小於它的編號數，求不同的放法種數.
7.(★★★★)用五種不同的顏色，給圖中的(1)(2)(3)(4)的各部分塗色，每部分塗一色，相鄰部分塗不同色，則塗色的方法共有幾種？
8.(★★★★)甲、乙、丙三人值周一至週六的班，每人值兩天班，若甲不值周
一、乙不值週六，則可排出不同的值班表數為多少？
參***
難點磁場
解：(間接法)：任取三張卡片可以組成不同三位數c·23·a (個)，其中0在百位的有c·22·a (個)，這是不合題意的，故共有不同三位數：
c·23·a－c·22·a=432(個）.
殲滅難點訓練
一、1.解析：因為直線過原點，所以c=0，從1，2，3，5，7，11這6個數中任取2個作為a、b兩數的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數為a=30.
答案：30
2.解析：2n個等分點可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有c種方法；再從以下的(2n－2)個等分點中任選乙個點，共有c種方法，根據乘法原理：
直角三角形的個數為：c·c=2n(n－1)個.
答案：2n(n－1)
二、3.解：出牌的方法可分為以下幾類：
(1)5張牌全部分開出，有a種方法；
(2)2張2一起出，3張a一起出，有a種方法；
(3)2張2一起出，3張a一起出，有a種方法；
(4)2張2一起出，3張a分兩次出，有ca種方法；
(5)2張2分開出，3張a一起出，有a種方法；
(6)2張2分開出，3張a分兩次出，有ca種方法.
因此，共有不同的出牌方法a+a+a+aa+a+ca=860種.
4.解：由圖形特徵分析，a＞0,開口向上，座標原點在內部f(0)=c＜0;a＜0,開口向下，原點在內部f(0)=c＞0,所以對於拋物線y=ax2+bx+c來講，原點在其內部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時，可先定一正一負的a和c，再確定b,故滿足題設的拋物線共有ccaa=144條.
5.解：(1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個位置可供甲選擇.有a種，其餘6人全排列，有a種.由乘法原理得aa=2160種.
(2)位置分析法.先排最右邊，除去甲外，有a種，餘下的6個位置全排有a種，但應剔除乙在最右邊的排法數aa種.則符合條件的排法共有aa－aa=3720種.
(3)**法.將男生看成乙個整體，進行全排列.再與其他元素進行全排列.共有aa=720種.
(4)插空法.先排好男生，然後將女生插入其中的四個空位，共有aa=144種.
(5)插空法.先排女生，然後在空位中插入男生，共有aa=1440種.
(6)定序排列.第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為n，第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為七個人的全排列，因此a=n×a，∴n== 840種.
(7)與無任何限制的排列相同，有a=5040種.
(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有a種，甲、乙和其餘2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有aa.最後再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可.共有a×a×a=720種.
6.解：首先按每個盒子的編號放入1個、2個、3個小球，然後將剩餘的14個小球排成一排，如圖，|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|，有15個空檔，其中「o」表示小球，「|」表示空檔.
將求小球裝入盒中的方案數，可轉化為將三個小盒插入15個空檔的排列數.對應關係是：以插入兩個空檔的小盒之間的「o」個數，表示右側空檔上的小盒所裝有小球數.
最左側的空檔可以同時插入兩個小盒.而其餘空檔只可插入乙個小盒，最右側空檔必插入小盒，於是，若有兩個小盒插入最左側空檔，有c種；若恰有乙個小盒插入最左側空檔，有種；若沒有小盒插入最左側空檔，有c種.由加法原理，有n==120種排列方案，即有120種放法.
7.解：按排列中相鄰問題處理.
(1)(4)或(2)(4).可以塗相同的顏色.分類：
若(1)(4)同色，有a種，若(2)(4)同色，有a種，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有a種.由加法原理，共有n=2a+a=240種.
8.解：每人隨意值兩天，共有ccc個；甲必值周一，有ccc個；乙必值週六，有ccc個；甲必值周一且乙必值週六，有ccc個.所以每人值兩天，且甲必不值周
一、乙必不值週六的值班表數，有n=ccc－2ccc+ ccc=90－2×5×6+12=42個.
k5排列組合小結
一 填空 二 題形小結 1.寫出所有符合條件的排列和組合 例1 有甲 乙 丙 丁四隊進行籃球單迴圈賽 1 寫出所有冠 亞軍的可能性.2 寫出各場比賽的雙方.2.含有或的方程 不等式的證明或求解 例2 1 求證 2 已知 求m n.3.排列組合應用題 例3 已知a 問 1 集合a有個子集.2 集合a可...
2019排列組合習題 學生版
一 分類計數 單獨的分類是很少的，一般混合在分布計數及排列組合中 1.現要從甲 乙 丙 丁 戊五人中選出三人擔任班長 副班長 團支書三種不同的職務，且上屆任職的甲 乙 丙都不再連任原職務的方法種數為 a 48b 30 c 36 d 32 2.一件工作可以用2種方法完成，有3人會用第1種方法完成，另外...
2排列組合 基礎點撥 練習題 學生版
一 選擇題 1 把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少有1個，至多5個，則不同的分法共有 a 4種 b 5種 c 6種d 7種 2 四個同學，爭奪三項冠軍，冠軍獲得者可能有的種類是 a 4b 24c 43d 34 3 已知函式y ax2 bx c，其中a，b，c 則不同的二次函式的個數共有 a 125個...