誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有種方法.
錯因分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.
正解：8個小球排好後對應著8個位置，題中的排法相當於在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由於這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：排法
3重複計算出錯
在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重複計數，產生錯誤。
例4（2023年北京文科高考題）5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（ ）
（a）480種 （b）240種 （c）120種 （d）96種
誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有種方法，剩下的1本書可以給任意乙個人有4種分法，共有種不同的分法，選a.
錯因分析：設5本書為、、、、，四個人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：
表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最後一本書給甲的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最後一本書給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況。正好重複了一次.
正解：首先把5本書轉化成4本書，然後分給4個人.第一步：
從5本書中任意取出2本**成一本書，有種方法；第二步：再把4本書分給4個學生，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選b.
例5 某交通崗共有3人，從周一到週日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）種.
（a）5040 （b）1260 （c）210 （d）630
誤解：第乙個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進行全排列.共有：，選b.
錯因分析：這裡是均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周
一、周二，第二人挑選的是周
三、周四；也可能是第乙個人挑選的是周
三、周四，第二人挑選的是周
一、周二，所以在全排列的過程中就重複計算了.
正解：種.
4遺漏計算出錯
在排列組合問題中還可能由於考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。
例6 用數字0，1，2，3，4組成沒有重複數字的比1000大的奇數共有（ ）
（a）36個 （b）48個 （c）66個 （d）72個
誤解：如右圖，最後一位只能是1或3有兩種取法，
又因為第1位不能是0，在最後一位取定後只有3種取
法，剩下3個數排中間兩個位置有種排法，共有個.
錯因分析：誤解只考慮了四位數的情況，而比1000大的奇數還可能是五位數.
正解：任乙個五位的奇數都符合要求，共有個，再由前面分析四位數個數和五位數個數之和共有72個，選d.
5忽視題設條件出錯
在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每乙個字和符號，不然就可能多解或者漏解.
例7 (2003全國高考題)如圖，乙個
地區分為5個行政區域，現給地圖著色，
要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4
種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數字作答）
誤解：先著色第一區域，有4種方法，剩下3種顏色塗四個區域，即有一種顏色塗相對的兩塊區域，有種，由乘法原理共有：種.
錯因分析：據報導，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒有看清題設「有4種顏色可供選擇」，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務.
正解：當使用四種顏色時，由前面的誤解知有48種著色方法；當僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區域，有3種方法，剩下2種顏色塗四個區域，只能是一種顏色塗第2、4區域，另一種顏色塗第3、5區域，有2種著色方法，由乘法原理有種.
綜上共有：種.
例8 已知是關於的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的個數.
誤解：從集合中任意取兩個元素作為、，方程有個，當、取同乙個數時方程有1個，共有個.
錯因分析：誤解中沒有注意到題設中：「求解集不同的……」所以在上述解法中要去掉同解情況，由於同解、同解，故要減去2個。
正解：由分析，共有個解集不同的一元二次方程.
6未考慮特殊情況出錯
在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.
例9 現有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數是（ ）
(a)1024種 (b)1023種 (c)1536種 (d)1535種
誤解：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種.
錯因分析：這裡100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成 4 種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.
正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種.
7題意的理解偏差出錯
例10 現有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.
（a）（b）（c）（d）
誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好後產生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選a.
錯因分析：誤解中沒有理解「甲、乙、丙三人不能相鄰」的含義，得到的結果是「甲、乙、丙三人互不相鄰」的情況.「甲、乙、丙三人不能相鄰」是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.
正解：在8個人全排列的方法數中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數，即，故選b.
8解題策略的選擇不當出錯
有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難，要採取適當的解決策略，如間接法、插入法、**法、概率法等，有助於問題的解決.
例10 高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.
（a）16種 （b）18種 （c）37種 （d）48種
誤解：甲工廠先派乙個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有種方案.
錯因分析：顯然這裡有重複計算.如：
班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當作了不一樣的情況，並且這種重複很難排除.
正解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即：種方案.
排列組合問題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見的原理和方法，即：「分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合」，留心容易出錯的地方就能夠以不變應萬變，把排列組合學好.
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9 若，則 a0 a2 a4 a100 2 a1 a3 a99 2的值為a 1 b 1 c 0 d 2 10 集合a 中任取3個數，這3個數的和恰好能被3整除的概率是a 19 68 b 13 35 c 4 13 d 9 34 11 某電腦使用者計畫使用不超過500元的資金購買單價分別為60元 70元...
高中數學排列組合問題方法總結
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2019好高中數學排列組合問題常用的解題方法
排列組合常用的解題方法 一 相鄰問題 法 題目中規定相鄰的幾個元素並為乙個組 當作乙個元素 參與排列 例1 五人併排站成一排，如果甲 乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那麼不同的排法種數有種。分析 把甲 乙視為一人，並且乙固定在甲的右邊，則本題相當於4人的全排列，種。二 相離問題插空法 元素相離 即不相鄰 ...