定比分點
定比分點公式(向量p1p=λ 向量pp2)
設p1、p2是直線上的兩點,p是l上不同於p1、p2的任意一點。則存在乙個實數 λ,使向量p1p=λ 向量pp2,λ叫做點p分有向線段p1p2所成的比。
若p1(x1,y1),p2(x2,y2),p(x,y),則有
op=(op1+λop2)(1+λ);(定比分點向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點座標公式)
我們把上面的式子叫做有向線段p1p2的定比分點公式
三點共線定理
若oc=λoa +μob ,且λ+μ=1 ,則a、b、c三點共線
三角形重心判斷式
在△abc中,若ga +gb +gc=o,則g為△abc的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件
若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實數λ,使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行於任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直於任何向量.
設a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
ab+bc=ac。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律:
交換律:a+b=b+a;
結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量為0
ab-ac=cb. 即「共同起點,指向被減」
a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').
4、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是乙個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣ ∣a∣。
當λ>0時,λa與a同方向;
當λ<0時,λa與a反方向;
當λ=0時,λa=0,方向任意。
當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0。
注:按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;
當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律:(λa) b=λ(a b)=(a λb)。
向量對於數的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律:① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ。
3、向量的的數量積
定義:已知兩個非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義:兩個向量的數量積(內積、點積)是乙個數量,記作a b。若a、b不共線,則a b=|a| |b| cos〈a,b〉;若a、b共線,則a b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的座標表示:a b=x x'+y y'。
向量的數量積的運算律
a b=b a(交換律);
(λa) b=λ(a b)(關於數乘法的結合律);
(a+b) c=a c+b c(分配律);
向量的數量積的性質
a a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a b=0。
|a b|≤|a| |b|。
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律,即:(a b) c≠a (b c);例如:(a b)^2≠a^2 b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律,即:由 a b=a c (a≠0),推不出 b=c。
3、|a b|≠|a| |b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是乙個向量,記作a×b。若a、b不共線,則a×b的模是:
∣a×b∣=|a| |b| sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線,則a×b=0。
向量的向量積性質:
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量沒有除法,「向量ab/向量cd」是沒有意義的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 當且僅當a、b反向時,左邊取等號;
② 當且僅當a、b同向時,右邊取等號。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 當且僅當a、b同向時,左邊取等號;
② 當且僅當a、b反向時,右邊取等號。
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