排列組合常用的解題方法
一、相鄰問題**法
題目中規定相鄰的幾個元素並為乙個組(當作乙個元素)參與排列．
例1 五人併排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那麼不同的排法種數有種。
分析：把甲、乙視為一人，並且乙固定在甲的右邊，則本題相當於4人的全排列，種。
二、相離問題插空法
元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端．
例2 七個人併排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那麼不同排法的種數是
分析：除甲乙外，其餘5個排列數為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數是種。
三、定序問題縮倍法
在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數的方法．
例3 a、b、c、d、e五個人併排站成一排，如果 b必須站a的右邊(a、b可不相鄰)，那麼不同的排法種數有
分析：在的右邊與在的左邊排法數相同，所以題設的排法只是5個元素全排列數的一半，即種。
四、標號排位問題分步法
把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規定排入，第二步再排另乙個元素，如此繼續下去，依次即可完成．
例4 將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格裡，每格填乙個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有
分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填餘下的兩個數字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。
五、有序分配問題逐分法
有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。
例5 有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法總數有
分析：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有種。
六、多元問題分類法
元素多，取出的情況也有多種，可按結果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最後總計。
例6 由數字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重複數字的六位數，其中個位數字小於十位數字的共有個。
分析：按題意，個位數字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合併總計300個。
七、交叉問題集合法
某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數公式。
例 9 從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？
分析：設全集ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，a＝｛甲第一棒的排列｝，b＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據求集合元素個數的公式得參賽方法共有：
八、定位問題優先法
某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素。
例10 1名老師和4名獲獎同學排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有種。
分析：老師在中間三個位置上選乙個有種，4名同學在其餘4個位置上有種方法；所以共有種。
九、多排問題單排法
把元素排成幾排的問題，可歸結為一排考慮，再分段處理。
例11 6個不同的元素排成前後兩排，每排3個元素，那麼不同的排法種數是
分析：前後兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種。
例12 8個不同的元素排成前後兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某 1個元素要排在後排，有多少種排法？
分析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在後半段的四個位置中選乙個有種，其餘5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法。
十、「至少」問題間接法
關於「至少」型別組合問題，用間接法較方便。
例13 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一台，則不同取法共有種。
分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種。
分析2：至少要甲型和乙型電視機各一台可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有種。
十一、選排問題先取後排法
從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可用先取後排法。
例14 四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有乙個空盒的放法共有種
分析：先取四個球中二個為一組，另二組各乙個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種。
例15 9名桌球運動員，其中男5名，女4名，現在要進行混合雙打訓練，有多少種不同分組法？
分析：先取男女運動員各2名，有種，這四名運動員混和雙打練習有中排法，故共有種。
十二、部分合條件問題排除法
在選取總數中，只有一部分合條件，可從總數中減去不合條件數，即為所求。
例16 以乙個正方體頂點為頂點的四面體共有個。
分析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構成四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構成四面體，所以四面體實際共有個。
例17 四面體的頂點和各稜中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有種。
分析：10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情況：①在四面體的四個面上，每面內四點共面的情況為，四個面共有個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過稜上三點與對稜中點的三角形共6個；所以四點不共面的情況的種數是種。
十三、複雜排列組合問題構造模型法
例18馬路上有編號為1，2，3…9九隻路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？
分析：把此問題當作乙個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法。所以滿足條件的關燈方案有10種。
說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決。
十四、利用對應思想轉化法
例19 圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交於圓內的交點有多少個？
分析：因為圓的乙個內接四邊形的兩條對角線相交於圓內一點，乙個圓的內接四邊形就對應著兩條弦相交於圓內的乙個交點，於是問題就轉化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有個，所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交於圓內的交點有個。
一、相鄰問題**法
例1 五人併排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那麼不同的排法種數有種。
二、 相離問題插空法
例2 七個人併排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那麼不同排法的種數是
三、定序問題縮倍法
例3 a、b、c、d、e五個人併排站成一排，如果 b必須站a的右邊(a、b可不相鄰)，那麼不同的排法種數有
四、標號排位問題分步法
例4 將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格裡，每格填乙個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有
五、有序分配問題逐分法
例5 有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法總數有
六、多元問題分類法
例6 由數字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重複數字的六位數，其中個位數字小於十位數字的共有個。
七、交叉問題集合法
例 7 從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？
八、定位問題優先法
例8 1名老師和4名獲獎同學排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有種。
九、多排問題單排法
例9 6個不同的元素排成前後兩排，每排3個元素，那麼不同的排法種數是
十、「至少」問題間接法
例10 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一台，則不同取法共有種。
十一、選排問題先取後排法
例11 四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有乙個空盒的放法共有種
十二、部分合條件問題排除法
例12 以乙個正方體頂點為頂點的四面體共有個。
十三、複雜排列組合問題構造模型法
例13 馬路上有編號為1，2，3…9九隻路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？
十四、利用對應思想轉化法
例14 圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交於圓內的交點有多少個？
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