一、選擇題
1．把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少有1個，至多5個，則不同的分法共有( a )
a．4種 b．5種 c．6種d．7種
[解析] 分類考慮，若最少一堆是1個，那由至多5個知另兩堆分別為4個、5個，只有一種分法；若最少一堆是2個，則由3＋5＝4＋4知有2種分法；若最少一堆是3個，則另兩堆為3個、4個，故共有分法1＋2＋1＝4種．
2．四個同學，爭奪三項冠軍，冠軍獲得者可能有的種類是( c )
a．4b．24c．43d．34
[解析] 依分步乘法計數原理，冠軍獲得者可能有的種數是4×4×4＝43.故選c.
3．已知函式y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈，則不同的二次函式的個數共有( c )
a．125個b．15個c．100個d．10個
4．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲 、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有( c)
a．6種b．12種 c．24種d．30種
[解析] 分步完成．首先甲 、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次由甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最後乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，於是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2＝24種，故選c.
5．將5名世博會志願者全部分配給4個不同的地方服務，不同的分配方案有( d )
a．8b．15c．512d．1024
[解析] 由分步計數原理得4×4×4×4×4＝1024，故選d.
6．如圖，某電子器件是由三個電阻組成的迴路，其中共有6個焊接點a、b、c、d、e、f，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通，現在電路不通了，那麼焊接點脫落的可能性共有( c )
a．6種b．36種 c．63種d．64種
[解析] 每個焊接點都有正常與脫落兩種情況，只要有乙個脫落電路即不通，∴共有26－1＝63種．故選c.
7．如圖，某段電路由五個電阻組成，其中共有6個焊接點a、b、c、d、e、f，如果某個焊接點脫落，該段電路就會不通，現在電路mn間沒有電流通過，那麼焊接點脫落的可能性共有( b )
a．14種b．49種 c．16種d．64種
[解析] 支路a、b、c有23－1＝7種．支路d、e、f有23－1＝7種．∴共有7×7＝49種，故選b.
8．210所有正約數的個數共有( c )
a．12個b．14個 c．16個d．20個
[解析] 由於210＝2×3×5×7，則2、3、5、7中的任意乙個數，或兩個數之積，或三個數之積，或四個數之積，都是210的約數．又1也是乙個約數，所以約數共有＋1＝16(個)
9．某班2023年元旦聯歡會原定的9個歌唱節目已排成節目單，但在開演前又增加了兩個新節目，如果將這兩個節目插入原節目單中，那麼不同插法的種數為( a )
a．110b．120 c．20d．12
[解析] 先將其中乙個節目插入原節目單的9個節目形成的10個空中有10種方法，再把另乙個節目插入前10個節目形成的11個空中有11種插法．由乘法原理知有10×11＝110種．
10．從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中，任取兩個不同數字相加，其和為偶數的不同取法種數是（ ）
a．90 b.10 c.20 d.40
二、填空題
11．設集合a中有3個元素，集合b中有2個元素，可建立a→b的對映的個數為_____8___．
[解析] 建立對映，即對於a中的每乙個元素，在b中都有乙個元素與之對應，有2種方法，故由分步乘法計數原理，共有對映23＝8(個)．
12．設橢圓＝1的焦點在y軸上，m∈，n∈，則這樣的橢圓個數為_____20______．
[解析] 曲線是焦點在y軸上的橢圓，∴n>m.當m＝1時，n有6種取法，當m＝2時，n有5種取法……當m＝5時n有2種取法，∴這樣的橢圓共有6＋5＋4＋3＋2＝20個．
13．已知m∈，n∈，r∈，則方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2可以表示不同圓____36____個．
[解析] 只有m、n、r都確定後，圓的方程才能確定，由分步乘法計數原理知共表示不同圓3×4×3＝36個．
三、解答題
14．有不同的數學書11本，不同的物理書8本，不同的化學書5本，從中取出不同學科的書2本，有多少種不同的取法？
[解析] 從這些書中取出不同學科的書2本，有三類辦法：第一類辦法是數學書、物理書各取1本；第二類辦法是數學書、化學書各取1本；第三類辦法是物理書、化學書各取1本，每類辦法又可分成兩步完成，即依次取出不是同一學科的書各1本，根據加法原理和乘法原理，得到不同的取法種數是11×8＋11×5＋8×5＝183(種)．
15．若直線方程ax＋by＝0中的a、b可以從0,1,2,3,5這五個數字中任取兩個不同的數字，則方程所表示的不同直線共有多少條？
[解析] 分兩類完成：
第1類，當a或b中有乙個為0時，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條；
第2類，當a，b不為0時，直線ax＋by＝0被確定需分兩步完成．
第1步，確定a的值，有4種不同的方法；
第2步，確定b的值，有3種不同的方法．
由分步乘法計數原理，共可確定4×3＝12條直線．
∴由分類加法計數原理，方程所表示的不同直線共有2＋12＝14條．
16．有三項體育運動專案，每個專案均設冠軍和亞軍各一名獎項．
(1)學生甲參加了這三個運動專案，但只獲得乙個獎項，學生甲獲獎的不同情況有多少種？
(2)有4名學生參加了這三個運動專案，若乙個學生可以獲得多項冠軍，那麼各項冠軍獲得者的不同情況有多少種？
[解析] (1)三個運動專案，共有六個獎項，由於甲獲得乙個獎項且甲可獲得六個獎項中的任何乙個，∴甲有6種不同的獲獎情況．
(2)每一項體育運動專案中冠軍的歸屬都有4種不同的情況，故各項冠軍獲得者的不同情況有4×4×4＝64(種)．
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