10.2 排列與組合
一、選擇題
1．某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目．如果將這兩個節目插入原節目單中，那麼不同插法的種數為
( )．
a．42b．30c．20d．12
解析可分為兩類：兩個節目相鄰或兩個節目不相鄰，若兩個節目相鄰，則有aa＝12種排法；若兩個節目不相鄰，則有a＝30種排法．由分類計數原理共有12＋30＝42種排法(或a＝42)．
答案 a
2．a∈n*，且a<20，則(27－a)(28－a)…(34－a)等於( )
a．ab．ac．ad．a
解析 a＝(27－a)(28－a)…(34－a)．
答案 d
3．從1,3,5,7中任取2個數字，從0,2,4,6,8中任取2個數字，組成沒有重複數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有( )
a．252個 b．300個 c．324個d．228個
解析 (1)若僅僅含有數字0，則選法是cc，可以組成四位數cca＝12×6＝72個；
(2)若僅僅含有數字5，則選法是cc，可以組成四位數cca＝18×6＝108個；
(3)若既含數字0，又含數字5，選法是cc，排法是若0在個位，有a＝6種，若5在個位，有2×a＝4種，故可以組成四位數cc (6＋4)＝120個．
根據加法原理，共有72＋108＋120＝300個．
答案 b
4．2023年春節放假安排：農曆除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有( )
a．1 440種b．1 360種 c．1 282種d．1 128種
解析採取對丙和甲進行**的方法：
如果不考慮「乙不在正月初一值班」，則安排方案有：a·a＝1 440種，
如果「乙在正月初一值班」，則安排方案有：c·a·a·a＝192種，
若「甲在除夕值班」，則「丙在初一值班」，則安排方案有：a＝120種．
則不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(種)．
答案 d
5．某外商計畫在4個候選城市中投資3個不同的專案，且在同乙個城市投資的專案不超過2個，則該外商不同的投資方案有( )．
a．16種b．36種c．42種d．60種
解析若3個不同的專案投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共a種方法；若3個不同的專案投資到4個城市中的2個，乙個城市一項、乙個城市兩項共ca種方法，由分類計數原理知共a＋ca＝60種方法．
答案 d
6．某校開設a類選修課3門，b類選修課4門，一位同學從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有( )．
a．30種b．35種c．42種d．48種
解析法一可分兩種互斥情況：a類選1門，b類選2門或a類選2門，b類選1門，共有cc＋cc＝18＋12＝30(種)選法．
法二總共有c＝35(種)選法，減去只選a類的c＝1(種)，再減去只選b類的c＝4(種)，共有30種選法．
答案 a
7．有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本．若將其併排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數是( )．
a．24b．48c．72d．96
解析 a－2aaa－aaa＝48.
答案 b
二、填空題
8．5名桌球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有________種．(以數字作答)
解析 ①只有1名老隊員的排法有c·c·a＝36種．
②有2名老隊員的排法有c·c·c·a＝12種； 所以共48種．
答案 48
9．將4名新來的同學分配到a、b、c三個班級中，每個班級至少安排1名學生，其中甲同學不能分配到a班，那麼不同的分配方案種數是________．
解析將4名新來的同學分配到a、b、c三個班級中，每個班級至少安排一名學生有ca種分配方案，其中甲同學分配到a班共有ca＋ca種方案．因此滿足條件的不同方案共有ca－ca－ca＝24(種)．
答案 24
10．從5名男醫生、4名女醫生中選3名醫生組成乙個醫療小分隊，要求男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有________種．
解析分1名男醫生2名女醫生、2名男醫生1名女醫生兩種情況，或者用間接法．
直接法：cc＋cc＝70.
間接法：c－c－c＝70.
答案 70
11．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三個房間內，要求甲、乙兩人不住同一房間，且每個房間最多住兩人，則不同的住宿安排有________種(用數字作答)．
解析甲、乙住在同乙個房間，此時只能把另外三人分為兩組，這時的方法總數是ca＝18，而總的分配方法數是把五人分為三組再進行分配，方法數是a＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72種．
答案 72
12．某車隊有7輛車，現要調出4輛按一定順序出去執行任務．要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先於乙車開出有________種不同的排程方法(填數字)．
解析先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有c種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，選從4個位置中選兩個位置安排甲、乙，甲在乙前共有c種，最後，安排其他兩輛車共有a種方法，∴不同的排程方法為c·c·a＝120種．
答案 120
三、解答題
13．有六名同學按下列方法和要求分組，各有不同的分組方法多少種？
(1)分成三個組，各組人數分別為1、2、3；
(2)分成三個組去參加三項不同的試驗，各組人數分別為1、2、3；
(3)分成三個組，各組人數分別為2、2、2；
(4)分成三個組去參加三項不同的試驗，各組人數分別為2、2、2；
(5)分成四個組，各組人數分別為1,1,2,2；
(6)分成四個組去參加四項不同的活動，各組人數分別為1、1、2、2.
解析 (1)即ccc＝60.(2)即ccca＝60×6＝360.
(3)即＝15.(4)即ccc＝90.(5)即·＝45.(6)cccc＝180.
14．要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？
(1)至少有1名女生入選；(2)至多有2名女生入選；(3)男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時入選；(5)男
生甲、女生乙至少有乙個人入選．
解析 (1)c－c＝771；(2)c＋cc＋cc＝546； (3)cc＝120；
(4)c－cc＝672；(5)c－c＝540.
15．在m(m≥2)個不同數的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m時pi＞pj(即前面某數大於後面某數)，則稱pi與pj構成乙個逆序，乙個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序數為an.如排列21的逆序數a1＝1，排列321的逆序數a2＝3，排列4 321的逆序數a3＝6.
(1)求a4、a5，並寫出an的表示式；
(2)令bn＝＋，證明2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….
解析 (1)由已知條件a4＝c＝10，a5＝c＝15，則an＝c＝.
(2)證明 bn＝＋＝＋＝2＋2
∴b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2
＝2n＋2，∴2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3.
16．已知10件不同的產品中有4件次品，現對它們一一測試，直至找到所有4件次品為止．
(1)若恰在第2次測試時，才測試到第一件次品，第8次才找到最後一件次品，則共有多少種不同的測試方法？
(2)若至多測試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測試方法？
解析 (1)若恰在第2次測試時，才測到第一件次品，第8次才找到最後一件次品，若是不放回的逐個抽取測試．
第2次測到第一件次品有4種抽法；
第8次測到最後一件次品有3種抽法；
第3至第7次抽取測到最後兩件次品共有a種抽法；剩餘4次抽到的是**，共有aaa＝86 400種抽法．
(2)檢測4次可測出4件次品，不同的測試方法有a種，
檢測5次可測出4件次品，不同的測試方法有4aa種；
檢測6次測出4件次品或6件**，則不同的測試方法共有4aa＋a種．
由分類計數原理，滿足條件的不同的測試方法的種數為
a＋4aa＋4aa＋a＝8 520.
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