2.5 指數與指數函式
一、選擇題
1．函式y＝a|x|(a>1)的影象是( )
解析：y＝a|x|＝當x≥0時，與指數函式y＝ax(a>1)的影象相同；當x<0時，y＝a－x與y＝ax的影象關於y軸對稱，由此判斷b正確．
答案：b
2．已知函式f(x)＝，則f(9)＋f(0)＝( )
a．0b．1
c．2d．3
解析：f(9)＝log39＝2，f(0)＝20＝1，∴f(9)＋f(0)＝3.
答案：d
3． 設函式y＝x3與y＝x－2的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區間是( )．
a．(0,1b．(1,2)
c．(2,3d．(3,4)
解析 (數形結合法)如圖所示．
由1答案 b
4．函式y＝x＋1的圖象關於直線y＝x對稱的圖象大致是( )．
解析函式y＝x＋1的圖象如圖；作其關於直線y＝x的對稱圖象，可知選a.
答案 a
5．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，則ab－a－b的值為( )
ab．2或－2
c．－2d．2
解析：(ab＋a－b)2＝8a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.
又ab>a－b(a>1，b>0)，∴ab－a－b＝2.
答案：d
6．已知函式f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結論中，一定成立的是( )
a．a<0，b<0，c<0 b．a<0，b≥0，c>0 c．2－a<2c d．2a＋2c<2
解析：作出函式f(x)＝|2x－1|的圖象如右圖中實線所示，又af(c)>f(b)，結合圖象知f(a)<1，a<0，c>0.∴0<2a<1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a.
∴f(c)<1，∴0又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1.∴2a＋2c<2.
答案：d
7．設函式f(x)＝－，[x]表示不超過x的最大整數，則函式y＝[f(x)]的值域是( )．
a．解析由f(x)＝－＝1－－＝－，
由於(2x＋1)在r上單調遞增，所以－在r上單調遞增，所以f(x)為增函式，由於2x＞0，當x→－∞，2x→0，
∴f(x)＞－，當x→＋∞，→0，∴f(x)＜，∴－＜f(x)＜，∴y＝[f(x)]＝．
答案 b
二、填空題
8．8×＋(×)6
解析：原式＝2×2＋6＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.
答案：110
9．若直線y＝2a與函式y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值範圍是________．
解析 (數形結合法)
由圖象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜.
答案 10．若函式y＝2－x＋1＋m的圖象不經過第一象限，則m的取值範圍是________．
解析：函式y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m，
∵函式的圖象不經過第一象限，∴()0－1＋m≤0，即m≤－2.
答案：(－∞，－2]
11．若函式f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數a的取值範圍是________．
解析令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，
若0若a>1，y＝ax與y＝x＋a的圖象如圖所示．
答案 (1，＋∞)
12．已知正數a滿足a2－2a－3＝0，函式f(x)＝ax，若實數m、n滿足f(m)>f(n)，則m、n的大小關係為________．
解析：∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函式f(x)＝ax在r上遞增，由f(m)>f(n)得m>n.答案：m>n
三、解答題
13．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718 28…)
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)若f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．
解析 (1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－e－x)2－(ex＋e－x)2
＝(e2x－2＋e－2x)－(e2x＋2＋e－2x)＝－4.
(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)
＝ex＋y＋e－x－y－ex－y－e－x＋y
＝[ex＋y＋e－(x＋y)]－[ex－y＋e－(x－y)]＝g(x＋y)－g(x－y)
∴g(x＋y)－g(x－y)＝4 ①
同理，由g(x)g(y)＝8，可得g(x＋y)＋g(x－y)＝8， ②
由①②解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，
∴＝3.
14．已知函式f(x)＝b·ax(其中a，b為常量，且a>0，a≠1)的圖象經過點a(1,6)，b(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]時恆成立，求實數m的取值範圍．
解析：(1)把a(1,6)，b(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
結合a>0且a≠1，解得∴f(x)＝3·2x.
(2)要使()x＋()x≥m在(－∞，1]上恆成立，
只需保證函式y＝()x＋()x在(－∞，1]上的最小值不小於m即可．
∵函式y＝()x＋()x在(－∞，1]上為減函式，
∴當x＝1時，y＝()x＋()x有最小值.∴只需m≤即可．∴m的取值範圍(－∞，]
15．已知函式f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解析：(1)當a＝－1時，f(x)＝－x2－4x＋3，令t＝－x2－4x＋3，
由於t(x)在(－∞，－2)上單調遞增，在[－2，＋∞)上單調遞減，而y＝t在r上單調遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調遞減，在[－2，＋∞)上單調遞增，[**:學科網zxxk]
即函式f(x)的遞增區間是[－2，＋∞)，遞減區間是(－∞，－2)．[**:學科網zxxk]
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由於f(x)有最大值3，所以h(x)應有最小值－1，
因此必有解得a＝1.即當f(x)有最大值3時，a的值等於1.
16．若函式y＝為奇函式．
(1)求a的值；(2)求函式的定義域；(3)求函式的值域．
解析 ∵函式y＝，∴y＝a－.
(1)由奇函式的定義，可得f(－x)＋f(x)＝0，即
a－＋a－＝0，∴2a＋＝0，∴a＝－.
(2)∵y＝－－，∴2x－1≠0，即x≠0.∴函式y＝－－的定義域為．
(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.
∵2x －1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.∴－－＞或－－＜－.
即函式的值域為．
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