一、特殊優先，一般在後
對於問題中的特殊元素、特殊位置要優先安排。在操作時，針對實際問題，有時「元素優先」，有時「位置優先」。
例1 0、2、3、4、5這五個數字，組成沒有重複數字的三位數，其中偶數共有幾個？
解法一：(元素優先)分兩類：第一類，含0，0在個位有a42種，0在十位有a21·a31種；第二類，不含0，有a21·a32種。
故共有(a42+a21a31)+a32a21=30。
注：在考慮每一類時，又要優先考慮個位。
解法二：(位置優先)分兩類：第一類，0在個位有a42種；第二類，0不在個位，先從兩個偶數中選乙個放個位，再選乙個放百位，最後考慮十位，有a21a31a31種。
故共有a42+a21a31a31=30。
練習1 （89年全國）由數字1、2、3、4、5組成沒有重複數字的五位數，其中小於50000的偶數共有個（用數字作答）。
答案：36
二、排組混合，先選後排
對於排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進行排列。
例2 (95年全國)4個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒內，則恰有乙個空盒的放法有幾種？
解：由題意，必有乙個盒內有2個球，同一盒內的球是組合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有c42a43=144種放法。
練習2 由數字1，2，3，4，5，6，7組成有3個奇數字，2個偶數字的五位數，數字不重複的有多少個？
答案：有c43c32a55=1440（個）
三、元素相鄰，整體處理
對於某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素**成整體並看作乙個元素再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素進行自排。
例3 5個男生3個女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？
解：先把3個女生**為乙個整體再與其他5個男生全排列。同時，3個女生自身也應全排列。由乘法原理共有a66·a33種。
練習3 四對兄妹站一排，每對兄妹都相鄰的站法有多少種？
答案：a44·24=384
四、元素間隔，分位插入
對於某些元素要求有間隔的排列，用插入法。
例4。 5個男生3個女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？
解：先排無限制條件的男生，女生插在5個男生之間的4個空隙，由乘法原理共有a55a43種。
注意：①必須分清「誰插入誰」的問題。要先排無限制條件的元素，再插入必須間隔的元素；②數清可插的位置數；③插入時是以組合形式插入還是以排列形式插入要把握準。
練習4 4男4女站成一行，男女相間的站法有多少種？
答案：2a44·a44
例5 馬路上有編號為1、2、3、…、9的9盞路燈，現要關掉其中的三盞，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關兩端的路燈，則滿足要求的關燈方法有幾種？
解：由於問題中有6盞亮3盞暗，又兩端不可暗，故可在6盞亮的5個間隙中插入3個暗的即可，有c53種。
練習5 從1、2、…、10這十個數中任選三個互不相鄰的自然數，有幾種不同的取法？
答案：c83。
五、元素定序，先排後除或選位不排或先定後插
對於某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然後對其它元素進行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。
例6。 5人參加百公尺跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況？
解法一：先5人全排有a55種，由於全排中有甲、乙的全排種數a22，而這裡只有1種是符合要求的，故要除以定序元素的全排a22種，所以有a55/a22=60種。
解法二：先在5個位置中選2個位置放定序元素(甲、乙)有c52種，再排列其它3人有a33，由乘法原理得共有c52a33=60種。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三個中的第一人有3種方法，接著插入第二人有4種方法，最後插入第三人有5種方法。由乘法原理得共有3×4×5=60種。
練習6 要編制一張演出節目單，6個舞蹈節目已排定順序，要插入5個歌唱節目，則共有幾種插入方法？
答案：a1111/a66或c116a55=c115a55或7×8×9×10×11種
六、「小團體」排列，先「團體」後整體
對於某些排列問題中的某些元素要求組成「小團體」時，可先按制約條件「組團」並視為乙個元素再與其它元素排列。
例7 四名男歌手與兩名女歌手聯合舉行一場演唱會，演出的出場順序要求兩名女歌手之間有兩名男歌手，則出場方案有幾種？
解：先從四名男歌手中選2人排入兩女歌手之間進行「組團」有a42a22種，把這個「女男男女」小團體視為1人再與其餘2男進行排列有a33種，由乘法原理，共有a42a22a33種。
練習7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸媽之間的站法有多少種？
答案：a22·a44
七、不同元素進盒，先分堆再排列
對於不同的元素放入幾個不同的盒內，當有的盒內有不小於2個元素時，不可分批進入，必須先分堆再排入。
例8 5個老師分配到3個班搞活動，每班至少乙個，有幾種不同的分法？
解：先把5位老師分3堆，有兩類：3、1、1分布有c53種和1、2、2分布有c51c42c22/a22種，再排列到3個班裡有a33種，故共有(c53+c51c42c22/a22)·a33。
注意：不同的老師不可分批進入同乙個班，須一次到位(否則有重複計數)。即「同一盒內的元素必須一次進入」。
練習8 有6名同學，求下列情況下的分配方法數：
①分給數學組3人，物理組2人，化學組1人；
②分給數學組2人，物理組2人，化學組2人；
③分給數學、物理、化學這三個組，其中一組3人，一組2人，一組1人；
④平均分成三組進行排球訓練。
答案：①c63c32c11；②c62c42c22；③c63c32c11·a33；④c62c42c22/a33。
八、相同元素進盒，用檔板分隔
例9 10張參觀公園的門票分給5個班，每班至少1張，有幾種選法？
解：這裡只是票數而已，與順序無關，故可把10張票看成10個相同的小球放入5個不同的盒內，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9個間隔中選4個位置插入4塊「檔板」分成5格(構成5個盒子)有c94種方法。
注：檔板分隔模型專門用來解答同種元素的分配問題。
練習9 從全校10個班中選12人組成排球隊，每班至少一人，有多少種選法？
答案：c119
九、兩類元素的排列，用組合選位法
例10 10級樓梯，要求7步走完，每步可跨一級，也可跨兩級，問有幾種不同的跨法？
解：由題意知，有4步跨單級，3步跨兩級，所以只要在7步中任意選3步跨兩級即可。故有c73種跨法。
注意：兩類元素的排列問題涉及面很廣，應予重視。
練習10 3面紅旗2面黃旗，全部公升上旗桿作訊號，可打出幾種不同的訊號？
答案：c52
例11 沿圖中的網格線從頂點a到頂點b，最短的路線有幾條？
解：每一種最短走法，都要走三段「|」線和四段「—」線，這是兩類元素不分順序的排列問題。故有c74或c73種走法。
例12 從5個班中選10人組成校籃球隊(無任何要求)，有幾種選法？
解：這個問題與例12有區別，雖仍可看成4塊「檔板」將10個球分成5格(構成5個盒子)，是球與檔板兩類元素不分順序的排列問題。但某些盒子中可能沒有球，故4塊「檔板」與10個球一樣也要參與排成一列而佔位置，故有c144種選法。
練習11 (a+b+c+d)10的展開式有幾項？
提示：因為每一項都是由a,b,c,d中的乙個或多個相乘而得到的10次式，所以可以看成是10個球與3塊檔板這兩類元素不分順序的排列，故共有c133項。
注意：怎樣把問題等價轉化為「兩類元素的排列」問題是解題的關鍵。
十、個數不少於盒子編號數，先填滿再分隔
例13 15個相同的球放入編號為1、2、3的盒子內，盒內球數不少於編號數，有幾種不同的放法？
解：先用6個球按編號數「填滿」各盒(符合起碼要求),再把9個球放入3個盒內即可,可用2塊檔板與9個球一起排列(即為兩類元素的排列問題),有c112種。
十一、多類元素組合，分類取出。
例14 車間有11名工人，其中4名車工，5名鉗工，ab二人能兼做車鉗工。今需調4名車工和4名鉗工完成某一任務，問有多少種不同調法？
解：不同的調法按車工分為如下三類：第一類調4車工4鉗工；第二類調3車工4鉗工，從ab中調1人作車工；第二類調2車工4鉗工，把ab二人作為車工。
故共有c44c74+c43c21c64+c42c22c54=185種不同調法。
注：本題也可按鉗工分類。若按a、b分類，會使問題變得複雜
一、**法
精要：所謂**法，指在解決對於某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作乙個整體參與排序，然後再單獨考慮這個整體內部各元素間順序。
提醒：其首要特點是相鄰，其次**法一般都應用在不同物體的排序問題中。
【例題】有10本不同的書：其中數學書4本，外語書3本，語文書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種。
解析：這是乙個排序問題，書本之間是不同的，其中要求數學書和外語書都各自在一起。為快速解決這個問題，先將4本數學書看做乙個元素，將3本外語書看做乙個元素，然後和剩下的3本語文書共5個元素進行統一排序，方法數為，然後排在一起的4本數學書之間順序不同也對應最後整個排序不同，所以在4本書內部也需要排序，方法數為，同理，外語書排序方法數為。
而三者之間是分步過程，故而用乘法原理得。
【例題】5個人站成一排，要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法？
解析：先將甲乙兩人看成1個人，與剩下的3個人一起排列，方法數為，然後甲乙兩個人也有順序要求，方法數為，因此站隊方法數為。
【練習】一台晚會上有6個演唱節目和4個舞蹈節目，4個舞蹈節目要排在一起，有多少不同的安排節目的順序？
注釋：運用**法時，一定要注意**起來的整體內部是否存在順序的要求，有的題目有順序的要求，有的則沒有。如下面的例題。
【例題】6個不同的球放到5個不同的盒子中，要求每個盒子至少放乙個球，一共有多少種方法？
解析：按照題意，顯然是2個球放到其中乙個盒子，另外4個球分別放到4個盒子中，因此方法是先從6個球中挑出2個球作為乙個整體放到乙個盒子中，然後這個整體和剩下的4個球分別排列放到5個盒子中，故方法數是。
二、插空法
精要：所謂插空法，指在解決對於某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。
提醒：首要特點是不鄰，其次是插空法一般應用在排序問題中。
【例題】若有a、b、c、d、e五個人排隊，要求a和b兩個人必須不站在一起，則有多少排隊方法？
解析：題中要求ab兩人不站在一起，所以可以先將除a和b之外的3個人排成一排，方法數為，然後再將a和b分別插入到其餘3個人排隊所形成的4個空中，也就是從4個空中挑出兩個併排上兩個人，其方法數為，因此總方法數。
【例題】8個人排成一隊，要求甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，有多少種方法？
解析：甲乙相鄰，可以**看作乙個元素，但這個整體元素又和丙不相鄰，所以先不排這個甲乙丙，而是排剩下的5個人，方法數為，然後再將甲乙構成的整體元素及丙這兩個元素插入到此前5人所形成的6個空裡，方法數為，另外甲乙兩個人內部還存在排序要求為。故總方法數為。
【練習】5個男生3個女生排成一排，要求女生不能相鄰，有多少種方法？
注釋：將要求不相鄰元素插入排好元素時，要注釋是否能夠插入兩端位置。
【例題】若有a、b、c、d、e五個人排隊，要求a和b兩個人必須不站在一起，且a和b不能站在兩端，則有多少排隊方法？
解析：原理同前，也是先排好c、d、e三個人，然後將a、b查到c、d、e所形成的兩個空中，因為a、b不站兩端，所以只有兩個空可選，方法總數為。
注釋：對於**法和插空法的區別，可簡單記為「相鄰問題**法，不鄰問題插空法」。
三、插板法
精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少乙個元素時，採用將比所需分組數目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。
提醒：其首要特點是元素相同，其次是每組至少含有乙個元素，一般用於組合問題中。
【例題】將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放乙個球，一共有多少種方法？
解析：解決這道問題只需要將8個球分成三組，然後依次將每一組分別放到乙個盒子中即可。因此問題只需要把8個球分成三組即可，於是可以講8個球排成一排，然後用兩個板查到8個球所形成的空裡，即可順利的把8個球分成三組。
其中第乙個板前面的球放到第乙個盒子中，第乙個板和第二個板之間的球放到第二個盒子中，第二個板後面的球放到第三個盒子中去。因為每個盒子至少放乙個球，因此兩個板不能放在同乙個空裡且板不能放在兩端，於是其放板的方法數是。（板也是無區別的）
【例題】有9顆相同的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法？
解析：原理同上，只需要用3個板插入到9顆糖形成的8個內部空隙，將9顆糖分成4組且每組數目不少於1即可。因而3個板互不相鄰，其方法數為。
【練習】現有10個完全相同的籃球全部分給7個班級，每班至少1個球，問共有多少種不同的分法?
注釋：每組允許有零個元素時也可以用插板法，其原理不同，注意下題解法的區別。
【例題】將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，一共有多少種方法？
解析：此題中沒有要求每個盒子中至少放乙個球，因此其解法不同於上面的插板法，但仍舊是插入2個板，分成三組。但在分組的過程中，允許兩塊板之間沒有球。
其考慮思維為插入兩塊板後，與原來的8個球一共10個元素。所有方法數實際是這10個元素的乙個佇列，但因為球之間無差別，板之間無差別，所以方法數實際為從10個元素所佔的10個位置中挑2個位置放上2個板，其餘位置全部放球即可。因此方法數為。
注釋：特別注意插板法與**法、插空法的區別之處在於其元素是相同的。
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