排列、組合問題基本題型及解法
同學們在學習排列、組合的過程中，總覺得抽象，解法靈活，不容易掌握.然而排列、組合問題又是歷年高考必考的題目.本文將總結常見的型別及相應的解法.
一、相鄰問題「**法」
將必須相鄰的元素「**」在一起，當作乙個元素進行排列.
例1 甲、乙、丙、丁四人併排站成一排，如果甲、乙必須站在一起，不同的排法共有幾種？
分析：先把甲、乙當作乙個人，相當於三個人全排列，有＝6種，然後再將甲、乙二人全排列有＝2種，所以共有6×2＝12種排法.
二、不相鄰問題「插空法」
該問題可先把無位置要求的元素全排列，再把規定不相鄰的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意兩端）.
例2 7個同學併排站成一排，其中只有a、b是女同學，如果要求a、b不相鄰，且不站在兩端，不同的排法有多少種？.
分析：先將其餘5個同學先全排列，排列故是＝120.再把a、b插入五個人組成的四個空位（不包括兩端）中，（如圖0×0×0×0×0「×」表示空位，「0」表示5個同學）有＝2種方法.
則共有＝440種排法.
三、定位問題「優先法」
指定某些元素必須排（或不排）在某位置，可優先排這個元素，後排其他元素.
例3 6個好友其中只有乙個女的，為了照像留念，若女的不站在兩端，則不同的排法有種.
分析：優先排女的（元素優先）.在中間四個位置上選乙個，有種排法.然後將其餘5個排在餘下的5個位置上，有種方法.則共＝480種排法.還可以優先排兩端（位置優先）.
四、同元問題「隔板法」
例4 10本完全相同的書，分給4個同學，每個同學至少要有一本書，共有多少種分法？
分析：在排列成一列的10本書之間，有九個空位插入三塊「隔板」.如圖：
一種插法對應於一種分法，則共有＝84種分法.
五、先分組後排列
對於元素較多，情形較複雜的問題，可根據結果要求，先分為不同型別的幾組，然後對每一組分別進行排列，最後求和.
例5 由數字0，1，2，3，4，5組成無重複數字的六位數，其中個位數字小於十位數字的共有（ ）
（a）210個 （b）300個 （c）464個 （d）600個
分析：由題意知，個位數字只能是0，1，2，3，4共5種型別，每一種型別分別有個、個、個、個、個，合計300個，所以選b
例6 用0，1，2，3，…，9這十個數字組成五位數，其中含有三個奇數數字與兩個偶數數字的五位數有多少個?
【解法1】考慮0的特殊要求，如果對0不加限制，應有種，其中0居首位的有種，故符合條件的五位數共有＝11040個.
【解法2】按元素分類：奇數字有1，3，5，7，9；偶數字有0，2，4，6，8.
把從五個偶數中任取兩個的組合分成兩類：①不含0的；②含0的.
①不含0的：由三個奇數字和兩個偶數字組成的五位數有個；
②含0的，這時0只能排在除首位以外的四個數字上，有種排法，再選三個奇數數與乙個偶數數字全排放在其他數字上，共有種排法.
綜合①和②，由分類計數原理，符合條件的五位數共有＋＝11040個.
例8 由數字1，2，3，4，5可以組成多少個無重複數字，比20000大，且百位數字不是3的自然數？
【解】設a＝，b＝，則原題即求，畫韋恩圖如圖，陰影部分
即，從圖中看出.
又，由性質2，有
即由數字1，2，3，4，5組成無重複數字，且比20000大的自然數的個數，易知.
即由數字1，2，3，4，5組成無重複數字、比20000大，且百位數字是3的自然數的個數，易知，
所以＝78.即可組成78個符合已知條件的自然數.
典型例題
例1 用0到9這10 個數字．可組成多少個沒有重複數字的四位偶數？
解法1：當個位數上排「0」時，千位，百位，十位上可以從餘下的九個數字中任選3個來排列，故有個；
當個位上在「2、4、6、8」中任選乙個來排，則千位上從餘下的八個非零數字中任選乙個，百位，十位上再從餘下的八個數字中任選兩個來排，按乘法原理有（個）．
∴ 沒有重複數字的四位偶數有
個．例2 排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單。
（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？
（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？
解：（1）先排歌唱節目有種，歌唱節目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節目，共有中方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰排法有： ＝43200.
（2）先排舞蹈節目有中方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節目放入。所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有： ＝2880種方法。
例3 某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果第一節不排體育，最後一節不排數學，那麼共有多少種不同的排課程表的方法．
分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中ⅰ；數學排在最後一節有種排法，如圖中ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數學排在最後一節，如圖中ⅲ，這種情況有種排法，因此符合條件的排法應是：
（種）．
例4 現有輛公交車、位司機和位售票員，每輛車上需配位司機和位售票員．問車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種？
分析：可以把輛車看成排了順序的三個空：，然後把名司機和名售票員分別填入．因此可認為事件分兩步完成，每一步都是乙個排列問題．
解：分兩步完成．第一步，把名司機安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法．故搭配方案共有
種．例5 下表是高考第一批錄取的乙份志願表．如果有所重點院校，每所院校有個專業是你較為滿意的選擇．若**填滿且規定學校沒有重複，同一學校的專業也沒有重複的話，你將有多少種不同的填表方法？
解：填表過程可分兩步．第一步，確定填報學校及其順序，則在所學校中選出所並加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個專業中選出個專業並確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數有種．綜合以上兩步，由分步計數原理得不同的填表方法有：種．
例6 名同學排隊照相．
(1)若分成兩排照，前排人，後排人，有多少種不同的排法？
(2)若排成兩排照，前排人，後排人，但其中甲必須在前排，乙必須在後排，有多少種不同的排法？
(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？
(4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？
解：(1)種．
(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步餘下的人排在剩下的個位置上，有種排法，由分步計數原理得，符合要求的排法共有種．
(3)第一步，將甲、乙、丙視為乙個元素，有其餘個元素排成一排，即看成個元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內部全排列，有種排法．由分步計數原理得，共有種排法．
(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法．由分步計數原理得，符合條件的排法共有：種．
例8 六人排一列縱隊，限定要排在的前面（與可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法．對這個題目，、、、四位同學各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是；
的算式是．上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由．
解：中很顯然，「在前的六人縱隊」的排隊數目與「在前的六人縱隊」排隊數目相等，而「六人縱隊」的排法數目應是這二者數目之和．這表明：的算式正確．
中把六人排隊這件事劃分為佔位，佔位，其他四人佔位這樣三個階段，然後用乘法求出總數，注意到佔位的狀況決定了佔位的方法數，第一階段，當佔據第乙個位置時，佔位方法數是；當佔據第2個位置時，佔位的方法數是；……；當佔據第5個位置時，佔位的方法數是，當，佔位後，再排其他四人，他們有種排法，可見的算式是正確的．
中可理解為從6個位置中選4個位置讓佔據，這時，剩下的兩個位置依前後順序應是的．因此的算式也正確．
中把6個位置先圈定兩個位置的方法數，這兩個位置讓佔據，顯然，佔據這兩個圈定的位置的方法只有一種（要在的前面），這時，再排其餘四人，又有種排法，可見的算式是對的．
例9 八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？
解法1：可分為「乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法」和「乙、丙在後排，甲坐在前排的八人坐法」兩類情況．應當使用加法原理，在每類情況下，劃分「乙丙坐下」、「甲坐下」；「其他五人坐下」三個步驟，又要用到分步計數原理，這樣可有如下演算法：
(種)．
解法2：採取「總方法數減去不命題意的所有方法數」的演算法．把「甲坐在第一排的八人坐法數」看成「總方法數」，這個數目是．在這種前提下，不合題意的方法是「甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．」這個數目是．其中第乙個因數表示甲坐在第一排的方法數，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數，表示把選出的這個人安排在第一排的方法數，下乙個則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數，就是其他五人的坐法數，於是總的方法數為
(種)．
說明：解法2可在學完組合後回過頭來學習．
例10 計畫在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，並且水彩畫不放在兩端，那麼不同陳列方式有（ ）．
a． b． c． d．
解：將同一品種的畫「捆」在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列．但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求．所以共有種陳列方式．
∴應選d．
說明：關於「若干個元素相鄰」的排列問題，一般使用「**」法，也就是將相鄰的若干個元素「**」在一起，看作乙個大元素，與其他的元素進行全排列；然後，再「鬆綁」，將被「**」的若干元素，內部進行全排列．本例題就是乙個典型的用「**」法來解答的問題．
例11 由數字組成沒有重複數字的六位數，其中個位數字小於十位數的個數共有（ ）．
a．210 b．300 c．464 d．600
解法1：（直接法）：分別用作十萬位的排列數，共有種，所以其中個位數字小於十位數字的這樣的六位數有個．
高中排列組合知識點彙總及典型例題
一 基本原理 1 加法原理 做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數等於各類方法數相加。2 乘法原理 做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數等於各步方法數相乘。注 做一件事時，元素或位置允許重複使用，求方法數時常用基本原理求解。二 排列 從n個不同元素中，任取m m n 個元素，按照一定的順序排成...
高中排列組合知識點彙總及典型例題全
一 基本原理 1 加法原理 做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數等於各類方法數相加。2 乘法原理 做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數等於各步方法數相乘。注 做一件事時，元素或位置允許重複使用，求方法數時常用基本原理求解。二 排列 從n個不同元素中，任取m m n 個元素，按照一定的順序排成...
排列組合常見問題答案
排列組合問題常見解法 排列組合問題是高考考察的重點，每年必考內容，常是乙個選擇題或乙個填空題，分值為5分，難度為中等難度，在分布列計算中也常用到排列組合的計算，先將排列組合問題解法介紹如下，供同學們參考。一 元素分析法 在解有限定元素的排列問題時，首先考慮特殊元素的安排方法，再考慮其他元素的排法。例...