一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數等於各類方法數相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數等於各步方法數相乘。
注：做一件事時，元素或位置允許重複使用，求方法數時常用基本原理求解。
二．排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一
1.公式：1.
2. (1) (2) ；
(3)三．組合：從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素並組成一組，叫做從n 個不同的m 元素中任取 m 個元素的組合數，記作 ** 。
1. 公式：
①；②；③；④
若四．處理排列組合應用題 1.①明確要完成的是一件什麼事（審題） ②有序還是無序 ③分步還是分類。
2．解排列、組合題的基本策略
（1）兩種思路：①直接法；
②間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應用題時一種常用的解題方法。
（2）分類處理：當問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數原理得出結論。注意：分類不重複不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的並集為全集。
（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，後分步。
（4）兩種途徑：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列應用題：
（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一列舉出來； (2)、特殊元素優先考慮、特殊位置優先考慮；
（3）．相鄰問題：捆邦法：
對於某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素「**」起來，看作一「大」元素與其餘元素排列，然後再對相鄰元素內部進行排列。
（4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可採用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然後再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。
（5）、順序一定，除法處理。先排後除或先定後插
解法一：對於某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然後用總的排列數除於這幾個元素的全排列數。即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列，剩餘的幾個位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；
（6）「小團體」排列問題——採用先整體後區域性策略
對於某些排列問題中的某些元素要求組成「小團體」時，可先將「小團體」看作乙個元素與其餘元素排列，最後再進行「小團體」內部的排列。
（7）分排問題用「直排法」把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。
（8）．數字問題（組成無重複數字的整數）
① 能被2整除的數的特徵：末位數是偶數；不能被2整除的數的特徵：末位數是奇數。②能被3整除的數的特徵：各位數字之和是3的倍數；
③能被9整除的數的特徵：各位數字之和是9的倍數④能被4整除的數的特徵：末兩位是4的倍數。 ⑤能被5整除的數的特徵：末位數是0或5。
⑥能被25整除的數的特徵：末兩位數是25，50，75。 ⑦能被6整除的數的特徵：各位數字之和是3的倍數的偶數。
4．組合應用題：（1）.「至少」「至多」問題用間接排除法或分類法: （2）． 「含」與「不含」 用間接排除法或分類法:
3．分組問題：
均勻分組：分步取，得組合數相乘，再除以組數的階乘。即除法處理。
非均勻分組：分步取，得組合數相乘。即組合處理。
混合分組：分步取，得組合數相乘，再除以均勻分組的組數的階乘。
4．分配問題：
定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數，分步取，得組合數相乘。
隨機分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數，先分組再排列，先組合分堆後排，注意平均分堆除以均勻分組組數的階乘。
5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分組問題
例1.電視台連續**6個廣告，其中含4個不同的商業廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須**公益廣告，則共有種不同的**方式（結果用數值表示）.
解：分二步：首尾必須**公益廣告的有a22種；中間4個為不同的商業廣告有a44種，從而應當填 a22·a44＝48. 從而應填48．
例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？
解一：間接法：即
解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.
(1) 甲排在最右端時,有種排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有種排法，乙有種排法，其他人有種排法，共有種排法，分類相加得共有+=504種排法
例.有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？
分析一：先在7個位置上任取4個位置排男生，有a種排法.剩餘的3個位置排女生，因要求「從矮到高」，只有1種排法，故共有a·1=840種.
1.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一台，則不同的取法共有
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選.
解析2：至少要甲型和乙型電視機各一台可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有台,選.
2．從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1）如果4人中男生和女生各選2人，有種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內，有種選法； （3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內，有種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有種選法
分析：本題考查利用種數公式解答與組合相關的問題.由於選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題.
解：（1）先從男生中選2人，有種選法，再從女生中選2人，有種選法，所以共有=60（種）；
（2）除去甲、乙之外，其餘2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有=21（種）；
（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內的去掉，得到符合條件的選法數：=91（種）；
直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數=91（種）.
（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數=120（種）.
直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為=120（種）.
1．6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數為( )
a．40 b．50 c．60 d．70
[解析] 先分組再排列，一組2人一組4人有c＝15種不同的分法；兩組各3人共有＝10種不同的分法，所以乘車方法數為25×2＝50，故選b.
2．有6個座位連成一排，現有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有( )
a．36種b．48種 c．72種d．96種
[解析] 恰有兩個空座位相鄰，相當於兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然後插空，從而共aa＝72種排法，故選c.
3．只用1,2,3三個數字組成乙個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有( )
a．6個b．9個 c．18個d．36個
[解析] 注意題中條件的要求，一是三個數字必須全部使用，二是相同的數字不能相鄰，選四個數字共有c＝3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有a×c＝6(種)排法，所以共有3×6＝18(種)情況，即這樣的四位數有18個．
4．男女學生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有( )
a．2人或3人 b．3人或4人 c．3人 d．4人
[解析] 設男生有n人，則女生有(8－n)人，由題意可得cc＝30，解得n＝5或n＝6，代入驗證，可知女生為2人或3人．
5．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規定從二樓到三樓用8步走完，則方法有( )
a．45種b．36種 c．28種d．25種
[解析] 因為10÷8的餘數為2，故可以肯定一步乙個台階的有6步，一步兩個台階的有2步，那麼共有c＝28種走法．
6．某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同乙個部門，另外三名電腦程式設計人員也不能全分在同乙個部門，則不同的分配方案共有( )
a．24種b．36種 c．38種d．108種
[解析] 本題考查排列組合的綜合應用，據題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦程式設計人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有c種分法，然後再分到兩部門去共有ca種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由於是每個部門各4人，故分組後兩人所去的部門就已確定，故第三步共有c種方法，由分步乘法計數原理共有2cac＝36(種)．
7．已知集合a＝，b＝，c＝，從這三個集合中各取乙個元素構成空間直角座標系中點的座標，則確定的不同點的個數為( )
a．33b．34 c．35d．36
[解析] ①所得空間直角座標系中的點的座標中不含1的有c·a＝12個；
②所得空間直角座標系中的點的座標中含有1個1的有c·a＋a＝18個；
③所得空間直角座標系中的點的座標中含有2個1的有c＝3個．
故共有符合條件的點的個數為12＋18＋3＝33個，故選a.
8．由1、2、3、4、5、6組成沒有重複數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是( )
a．72b．96 c．108d．144
[解析] 分兩類：若1與3相鄰，有a·caa＝72(個)，若1與3不相鄰有a·a＝36(個)
故共有72＋36＝108個．
高中排列組合知識點彙總及典型例題
一 基本原理 1 加法原理 做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數等於各類方法數相加。2 乘法原理 做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數等於各步方法數相乘。注 做一件事時，元素或位置允許重複使用，求方法數時常用基本原理求解。二 排列 從n個不同元素中，任取m m n 個元素，按照一定的順序排成...
排列組合知識點與方法歸納
一 知識要點 1.分類計數原理與分步計算原理 1 分類計算原理 加法原理 完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有n m1 m2 mn種不同的方法。2 分步計數原理 乘法原理 完成一件事，需要分成...
高考數學知識點之排列組合二項定理
考試內容 數學探索版權所有分類計數原理與分步計數原理 數學探索版權所有排列 排列數公式 數學探索版權所有組合 組合數公式 組合數的兩個性質 數學探索版權所有二項式定理 二項展開式的性質 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有掌握分類計數原理與分步計數原理，並能用它們分析和解決一些簡單的應用問題 ...