一、 知識要點
1. 分類計數原理與分步計算原理
（1） 分類計算原理（加法原理）：
完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有n= m1+ m2+…+ mn種不同的方法。
（2） 分步計數原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有n= m1× m2×…× mn種不同的方法。
2. 排列
（1） 定義
從n個不同元素中取出m（ ）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記為 .
（2） 排列數的公式與性質
a) 排列數的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=
特例：當m=n時， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1規定：0！=1
b) 排列數的性質：
3. 組合
（1） 定義
a) 從n個不同元素中取出個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的乙個組合
b) 從n個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示。
（2） 組合數的公式與性質
a) 組合數公式：（乘積表示）
（階乘表示）
特例：b) 組合數的主要性質：
4. 排列組合的區別與聯絡
（1） 排列與組合的區別在於組合僅與選取的元素有關，而排列不僅與選取的元素有關，而且還與取出元素的順序有關。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關，是判斷這一問題是排列問題還是組合問題的理論依據。
（2）注意到獲得（乙個）排列歷經「獲得（乙個）組合」和「對取出元素作全排列」兩個步驟，故得排列數與組合數之間的關係：
二、經典例題
例1、某人計畫使用不超過500元的資金購買單價分別為60、70元的單片軟體和盒裝磁碟，要求軟體至少買3片，磁碟至少買2盒，則不同的選購方式是（ ）
a .5種 b.6種 c. 7種 d. 8種
解：注意到購買3片軟體和2盒磁碟花去320元，所以，這裡只討論剩下的180元如何使用，可從購買軟體的情形入手分類討論： 第一類，再買3片軟體，不買磁碟，只有1種方法； 第二類，再買2片軟體，不買磁碟，只有1種方法；
第三類，再買1片軟體，再買1盒磁碟或不買磁碟，有2種方法；第四類，不買軟體，再買2盒磁碟、1盒磁碟或不買磁碟，有3種方法； 於是由分類計數原理可知，共有n=1+1+2+3=7種不同購買方法，應選c。
例2、在中有4個編號為1，2，3，4的小三角形，要在每乙個小三角形中塗上紅、藍、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同的塗法？
解：根據題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但「對角」的兩個小三角形可以是相同顏色，於是考慮以對角的小三角形1、4同色與不同色為標準分為兩類，進而在每一類中分步計算。
第一類：1與4同色，則1與4有5種塗法，2有4種塗法，3有4種塗法， 故此時有n1=5×4×4=80種不同塗法。
第二類：1與4不同色，則1有5種塗法，4有4種塗法，2有3種塗法，3有3種塗法，故此時有n2=5×4×3×3=180種不同塗法。 綜上可知，不同的塗法共有80+180=260種。
例3、用數字0，1，2，3，4，5組成無重複數字4位數，其中，必含數字2和3，並且2和3不相鄰的四位數有多少個？
解：注意到這裡「0」的特殊性，故分兩類來討論。
第一類：不含「0」的符合條件的四位數，首先從1，4，5這三個數字中任選兩個作排列有種；進而將2和3分別插入前面排好的兩個數字中間或首尾位置，又有種排法，於是由分步計數原理可知，不含0且符合條件的四位數共有=36個。
第二類：含有「0」的符合條件的四位數，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用「間接法」：首先從1，4，5這三個數字中任選乙個，而後與0，2，3進行全排列，這樣的排列共有個。
其中，有如下三種情況不合題意，應當排險：
（1）0在首位的，有個；
（2）0在百位或十位，但2與3相鄰的，有個
（3）0在個位的，但2與3相鄰的，有個
因此，含有0的符合條件的四位數共有 =30個
於是可知，符合條件的四位數共有36+30=66個
例4、某人在打靶時射擊8槍，命中4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續命中的，那麼該人射擊的8槍，按「命中」與「不命中」報告結果，不同的結果有（ ）
a.720種 b.480種 c.24種 d.20種
分析：首先，對未命中的4槍進行排列，它們形成5個空擋，注意到未命中的4槍「地位平等」，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為乙個元素，與命中的另一槍從前面5個空格中選2個排進去，有種排法，於是由乘法原理知，不同的報告結果菜有種。
例5、（1
（2）若 ，則n
（3（4）若 ，則n的取值集合為
（5）方程的解集為
解：（1）注意到n滿足的條件
∴原式==
（2）運用楊輝恒等式，已知等式
所求n=4。
（3）根據楊輝恒等式
原式= =
= =
（4）注意到這裡n滿足的條件n≥5且n∈n* ①
在①之下，
原不等式
∴由①、②得原不等式的解集為
（5）由注意到當y=0時， 無意義，原方程組可化為
由此解得經檢驗知是原方程組的解。
排列組合的常用方法
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一 排列問題 一 可重複排列問題 例1 1 有4名學生報名參加數學 物理 化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？2 有4名學生參加爭奪數學 物理 化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？解 1 2 例2 集合的子集共有多少個？二 列舉法 例3 用1 2 3 4四個數字排成三位數，並把這些數由小到...
高中排列組合知識點彙總及典型例題
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