高中數學重點-排列組合二項定理
學科：數學任課教師： 授課時間： 年月日
考試內容：
數學探索版權所有分類計數原理與分步計數原理．
數學探索版權所有排列．排列數公式．
數學探索版權所有組合．組合數公式．組合數的兩個性質．
數學探索版權所有二項式定理．二項展開式的性質．
數學探索版權所有考試要求：
數學探索版權所有掌握分類計數原理與分步計數原理，並能用它們分析和解決一些簡單的應用問題．
數學探索版權所有理解排列的意義，掌握排列數計算公式，並能用它解決一些簡單的應用問題．
數學探索版權所有理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，並能用它們解決一些簡單的應用問題．
數學探索版權所有掌握二項式定理和二項展開式的性質，並能用它們計算和證明一些簡單的問題．
排列組合二項定理知識要點
一、兩個原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重複元素的排列.
從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重複出現，按照一定的順序排成一排，那麼第
一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重複排列數m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法解：
種）二、排列.
1. ⑴對排列定義的理解.
定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的乙個排列.
⑵相同排列.
如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.
⑶排列數.
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的乙個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的乙個排列數，用符號表示.
⑷排列數公式：
注意： 規定0! = 1
規定2. 含有可重元素的排列問題.
對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集s有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重複數為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則s的排列個數等於.
例如：已知數字3、2、2，求其排列個數又例如：數字5、5、5、求其排列個數？其排列個數.
三、組合.
1. ⑴組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的乙個組合.
⑵組合數公式：
⑶兩個公式：① ②
①從n個不同元素中取出m個元素後就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的乙個組合.
（或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球乙個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）
②根據組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對於某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有c，如果不取這一元素，則需從剩餘n個元素中取出m個元素，所以共有c種，依分類原理有.
⑷排列與組合的聯絡與區別.
聯絡：都是從n個不同元素中取出m個元素.
區別：前者是「排成一排」，後者是「並成一組」，前者有順序關係，後者無順序關係.
⑸①幾個常用組合數公式
②常用的證明組合等式方法例.
i. 裂項求和法. 如：（利用）
ii. 導數法. iii. 數學歸納法. iv. 倒序求和法.
v. 遞推法（即用遞推）如：.
vi. 構造二項式. 如：
證明：這裡構造二項式其中的係數，左邊為
，而右邊
四、排列、組合綜合.
1. i. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：
①直接法. ②排除法.
③**法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作乙個元素來考慮，待整體排好之後再考慮它們「區域性」的排列.它主要用於解決「元素相鄰問題」，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個.
其中是乙個「整體排列」，而則是「區域性排列」.
又例如①有n個不同座位，a、b兩個不能相鄰，則有排列法種數為.
②有n件不同商品，若其中a、b排在一起有.
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.
注：①③區別在於①是確定的座位，有種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然後把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決「元素不相鄰問題」.
例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數為多少？（插空法），當n – m+1≥m, 即m≤時有意義.
⑤佔位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然後再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然後再排其他剩餘位置.即採用「先特殊後一般」的解題原則.
⑥調序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：
先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由於要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.
例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）.
⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.
例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？
（）注意：分組與插空綜合. 例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當n – m+1 ≥m, 即m≤時有意義.
⑧隔板法：常用於解正整數解組數的問題.
例如：的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數目依次為顯然，故（）是方程的一組解.
反之，方程的任何一組解，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應. 即方程的解的組數等於插隔板的方法數.
注意：若為非負數解的x個數，即用中等於，有，進而轉化為求a的正整數解的個數為 .
⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規定某r個元素都包含在內，並且都排在某r個指定位置則有.
例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？
固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，有從m-1個位置取乙個位置，然後再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）
⑩指定元素排列組合問題.
i. 從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規定某r個元素都包含在內 。先c後a策略，排列；組合.
ii. 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定某r個元素都不包含在內。先c後a策略，排列；組合.
iii 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素。先c後a策略，排列；組合.
ii. 排列組合常見解題策略：
①特殊元素優先安排策略；②合理分類與準確分步策略；③排列、組合混合問題先選後排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，後排列）；④正難則反，等價轉化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；
⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨「小集團」排列問題中先整體後區域性的策略；⑩構造模型的策略.
2. 組合問題中分組問題和分配問題.
①均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數相等，不管是否分盡，其分法種數為（其中a為非均勻不編號分組中分法數）.如果再有k組均勻分組應再除以.
例：10人分成三組，各組元素個數為2、4、4，其分法種數為.若分成六組，各組人數分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數為
②非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為
例：10人分成三組，各組人數分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：種.
若從10人中選9人分成三組，人數分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有種
③均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為.
排列組合二項式定理
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排列組合 二項式定理
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排列組合二項式定理教師
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