分類加法計數原理與分步乘法計數原理
基礎梳理
1．分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那麼完成這件事共有n種不同的方法．推廣：
2．分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法，那麼完成這件事共有n種不同的方法．推廣：
思考**區分「分類」和「分步」的依據是什麼？
課前熱身
1．從3名女同學2名男同學中選一人，主持本班的主題班會，則不同的選法種數為( )
a．6 b．5c．3d．2
2．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的乙個小組，則不同的報名方法共有( )
a．10種 b．20種 c．25種 d．32種
3．有不同顏色的四件上衣與不同顏色的三條長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數是________．
4．書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數學書，第3層放有6本不同的體育書．從書架上任取1本書，不同的取法數為________．從第1,2,3層分別各取一本書， 不同的取法數為________．
考點1 分類加法計數原理的應用
例1 高三一班有學生50人，男30人，女20人；高三二班有學生60人，男30人，女30人；高三三班有學生55人，男35人，女20人．
(1)從高三一班或二班或三班學生中選一名學生任校學生會主席，有多少種不同的選法？
(2)從高三一班、二班的男生中，或從高三三班的女生中選一名學生任校學生會體育部部長，有多少種不同的選法？
【題後感悟】 使用分類加法計數原理計數的兩個條件：一是根據問題的特點能確定乙個適合於它的分類標準．二是完成這件事情的任何一種方法必須屬於某一類，並且分別屬於不同類的兩種方法是不同的方法．
變式練習: 方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，其中m∈， n∈，那麼這樣的橢圓有個？
考點2 分步乘法計數原理的應用
例2 由數字1,2,3,4： (1)可組成_________個3位數？(2)可組成_________個沒有重複數字的3位數？
【題後感悟】 應用分步乘法計數原理要注意兩點：(1)明確題目中所指的「完成一件事」是什麼，必須經幾步才能完成．(2)完成這件事需分為若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，本事件都不可能完成．
考點3 兩個計數原理的綜合應用
例3 有一項活動，需在3名老師、8名男生和5名女生中選人參加．
(1)若只需1人參加，有多少種不同選法？
(2)若需老師、男生、女生各一人參加，有多少種不同的選法？
(3)若需一名老師、一名學生參加，有多少種不同的選法？
【題後感悟】 在解決實際問題的過程中，並不一定是單一的分類或分步，而是可能同時應用兩個計數原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成，而分步時，每步的方法數可能會採取分類的思想求．
排列與組合
基礎梳理
1．排列與排列數
(1)排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素叫做從n個不同元素中取出m個元素的乙個排列．
(2)排列數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作_______.
2．組合與組合數
(1)組合從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素叫做從n個不同元素中取出m個元素的乙個組合．
(2)組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作
思考**如何區分某一問題是排列問題還是組合問題？
3．排列數、組合數的公式及性質 (n，m∈n*且m≤n)
公式排列數公式組合數公式
性質 (1)a2)0！＝_____(1)c＝____；(2)c＝______；(3)c＋c＝c
課前熱身
1．設集合a＝，m，n∈a，則方程＋＝1表示焦點位於x軸上的橢圓有( )
a．6個 b．8個 c．12個d．16個
2．用數字1、2、3、4、5組成的無重複數字的四位偶數的個數為( )
a．8b．24 c．48 d．120
3．有3名男生，4名女生，選其中5人排成一行，共有________種不同的排法；選其中5人參加一項活動，共有________種不同的選法.
4．7名志願者安排6人在周
六、週日參加活動，若每天安排3人，則不同的安排方案有________種
考點1 排列問題
有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數．
(1)排成前後兩排，前排3人，後排4人；
(2)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；
(3)全體排成一排，女生必須站在一起．
【題後感悟】 對於相鄰問題，可以先將要求相鄰的元素作為乙個元素與其他元素進行排列，同時要考慮相鄰元素的內部是否需要排列，這種方法稱為「**法」．對於不相鄰的元素，可先排其他元素，然後將這些要求不相鄰的元素插入空位，這種方法稱為「插空法」．
互動**1．本題條件不變，求全體排成一排，男生互不相鄰的排法總數．
考點2 組合問題
例2 從7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數．
(1)a，b必須當選2)a，b不全當選．
【題後感悟】 組合問題常有以下兩類題型變化：
(1)「含有」或「不含有」某些元素的組合題型：「含」，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；「不含」，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
(2)「至少」或「最多」含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視「至少」與「最多」這兩個關鍵詞的含義，謹防重複與漏解．用直接法和間接法都可以求解．通常用直接法分類複雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
互動**2．題目條件不變，求符合下列條件的選法總數有多少？
(1)a，b必不當選2)至少有2名女生當選．
考點3 排列、組合的綜合應用
(2010·高考湖北卷)現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志願者服務活動，每人從事翻譯、導遊、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是( )
a．152 b．126c．90d．54
【題後感悟】 解答同時與排列、組合有關的應用題時，要遵循先特殊後一般的原則、先取後排的原則、先分類後分步的原則．基本題型包括：排列中的「在與不在」問題；組合中的「有與沒有」問題、「相鄰與不相鄰」問題等
變式訓練3．有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數是( )
a．1260 b．2025 c．2520 d．5040
方法技巧1．對於有附加條件的排列組合應用題，通常從三個途徑考慮：
(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；
(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；
(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不合要求的排列或組合數
失誤防範1．要注意均勻分組與不均勻分組的區別，均勻分組不要重複計數.
2．解受條件限制的組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時標準應統一，避免出現遺漏或重複．
3．解組合應用題時，應注意「至少」、「至多」、「恰好」等詞的含義．
二項式定理
基礎梳理
1．二項式定理
(1)二項式定理公式(a＋b)n叫做二項式定理．
(2)二項展開式的通項 tk＋1為展開式的第________項．
思考**在公式中，交換a，b的順序對各項是否有影響？
提示：從整體看，(a＋b)n與(b＋a)n相同，但具體到某一項是不同的，如(a＋b)n的第k＋1項tk＋1＝can－kbk，(b＋a)n的第k＋1項t′k＋1＝cbn－kak.
2．二項式係數的性質
(1)對稱性：與首、末兩端________的兩個二項式係數相等，即
(2)增減性與最大值：二項式係數，當時，二項式係數是遞增的；當時，二項式係數是遞減的．
當n是偶數時取得最大值．
當n是奇數時，中間兩項_______ 和______相等，且同時取得最大值．
(3)各二項式係數的和
(a＋b)n的展開式的各個二項式係數的和等於2n，即c＋c＋…＋c二項展開式中,偶數項的二項式係數的和_______奇數項的二項式係數的和，即c＋c＋…＝c＋c
考點1 二項展開式中的特定項或特定項的係數
例1 (2011·高考山東卷)若6展開式的常數項為60，則常數a的值為________．
【題後感悟】 求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式後，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數k＋1，代回通項公式即可
考點2 最大係數與係數最大項的求法
例2 二項式(1＋sinx)n的展開式中，末尾兩項的係數之和為7，且係數最大的一項的值為，則x在[0,2π]內的值為________．
排列組合二項式
高二數學排列組合同步練習 一 選擇題 本大題共12個小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 4名男歌手和2名女歌手聯合舉行一場 會，出場順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場方案的種數是 a 6a b 3ac 2ad aaa 2 編號為1，2，3，...
排列組合二項式定理
變式訓練 1 09年全國2 10 甲 乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲 乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 a.6種 b.12種 c.30種 d.36種 2 09年湖北5 將甲 乙 丙 丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲 乙兩名學生不能分到同乙個班，則不同分法的種數為 ...
排列組合 二項式定理
知識梳理 一 兩個基本計數原理 1 分類計數原理 完成一件事，有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有 n m1 m2 mn 種不同的方法。加法原理 2 分步計數原理 完成一件事，需要分成n個步驟，做第一步有...