高三數學第二輪專題複習—排列、組合、
二項式定理和概率統計
一、知識要點
二、高考要求
1、掌握分類計數原理與分步計數原理、並能用它分析和解決一些簡單的應用問題。
2、理解排列的意義，掌握排列數計算公式，並能用它解決一些簡單的應用問題。
3、理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數性質，並能用它們解決一些簡單的應用問題。
4、掌握二項式定理和二項展開式的性質，並能用它們計算和證明一些簡單的問題。
5、了解隨機事件的發生存在著規律性和隨機事件概率的意義。
6、了解等可能事件的概率的意義，並會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率。
7、了解互斥事件的相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率。
8、會計算事件在n次獨立重複試驗中恰好發生k次的概率。
9、了解隨機變數、離散型隨機變數、連續型隨機變數的意義，會求某些簡單的離散型隨機變數的分布列。
10、了解離散型隨機變數的期望、方差的意義，會根據離散型隨機變數的分布列求期望與方差。
11、了解連續型隨機變數的概率密度的意義。
12、會用簡單隨機抽樣，系統抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。
13、會用與去估計總體方差，會用s*與s去估計總體標準。
14、會用樣本頻率分布去估計總體分布。了解線性回歸的方法和簡單應用。
三、熱點分析
排列與組合是高中數學中從內容到方法都比較獨特的乙個組成部分，是進一步學習概率論的基礎知識，該部分內容，不論其思想方法和解題都有特殊性，概念性強，抽象性強，思維方法新穎，解題過程極易犯「重複」或「遺漏」的錯誤，並且結果數目較大，無法一一檢驗，因此給考生帶來一定困難。解決問題的關鍵是加深對概念的理解，掌握知識的內在聯絡和區別，科學周全的思考、分析問題。
二項式定理是進一步學習概率論和數理統計的基礎知識，把握二項展開式及其通項公式的相互聯絡和應用是重點。
概率則是概率論入門，目前的概率知識只是為進一步學習概率和統計打好基礎，做好鋪墊。學習中要注意基本概念的理解，要注意與其他數學知識的聯絡，要通過一些典型問題的分析，總結運用知識解決問題的思維規律。
縱觀近幾年高考，排列、組合、二項式定理幾乎每年必考，考題多以選擇題、填空題出現，題小而靈活，涉及知識點都在兩三個左右，綜合運用排列組合知識，分類計數和分步計數原理；二項式定理及二項式係數的性質計算或論證一些較簡單而有趣的小題也在高考題中常見。
新教材中增添了「概率」及「概率統計」的內容，從近幾年新課程卷高考來看，每年都有一道解答題，佔12分左右，今年在此處出題可能性也較大。
四、複習建議
本章內容相對獨立性較強，並且密切聯絡實際應用性較強，分為四個部分：排列組合、二項式定理、概率和概率統計。具有概念性強靈活性強，思維方法新穎等特點，要注意從加深對概念的理解和掌握內在聯絡與區別方面下功夫，四部分中，排列、組合是基礎和工具。
本章主要的數學思想有：化歸思想，比較分類思想，極限思想和模型化思維方法。學習時應注意發散思維和逆向思維，通過分類分步把複雜問題分解恰當地應用集合觀點、整體思想，從全集、補集等入手，使問題簡化。
【例題】
【例1】 四名優等生保送到三所學校去，每所學校至少得一名，則不同的保送方案的總數是
解法一：分兩步：先將四名優等生分成2，1，1三組，共有c種；而後，對三組學生安排三所學校，即進行全排列，有a33種.依乘法原理，共有n=c =36(種).
解法二：分兩步：從每個學校至少有一名學生，每人進一所學校，共有a種；而後，再將剩餘的一名學生送到三所學校中的一所學校，有3種.
值得注意的是：同在一所學校的兩名學生是不考慮進入的前後順序的.因此，共有n=a·3=36(種).
答案：36
【例2】 有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張併排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數？
解：(間接法)：任取三張卡片可以組成不同三位數c·23·a (個)，其中0在百位的有c·22·a (個)，這是不合題意的，故共有不同三位數：
c·23·a－c·22·a=432(個).
【例3】 在∠aob的oa邊上取m個點，在ob邊上取n個點(均除o點外)，連同o點共m+n+1個點，現任取其中三個點為頂點作三角形，可作的三角形有( )
解法一：第一類辦法：從oa邊上(不包括o)中任取一點與從ob邊上(不包括o)中任取兩點，可構造乙個三角形，有cc個；第二類辦法：
從oa邊上(不包括o)中任取兩點與ob邊上(不包括o)中任取一點，與o點可構造乙個三角形，有cc個；第三類辦法：從oa邊上(不包括o)任取一點與ob邊上(不包括o)中任取一點，與o點可構造乙個三角形，有cc個.由加法原理共有n=cc+cc+cc個三角形.
解法二：從m+n+1中任取三點共有c個，其中三點均在射線oa(包括o點)，有c個，三點均在射線ob(包括o點)，有c個.所以，個數為n=c－c－c個.
答案：c
【例4】 函式)
（1）已知的展開式中的係數為，求常數
（2）是否存在的值，使在定義域中取任意值時，恆成立？如存在，求出的值，如不存在，說明理由.
解（1）tr+1=c 由解得
（2） 要使（
只需10當時，設
20當時，不成立 30當時，不成立故當
另解法只需
【例5】 五人站成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，有多少種站法？
解：設原來站在第i個位置的人是（i=1，2，3，4，5）。重新站隊時，站在第2
個位置的站法有種，其中不符合要求的有：站第3位的種，站第4位的種，但有的站法在考慮的情形時已經減去了，故只應再算（）種，同理，站第5位的應再算種。站在第3，4，5位的情形與站在第2位的情形時對等的，故所有符合要求的站法有：
=44（種）
【例6】 乙個口袋內裝有4個不同的紅球，6個不同的白球，若取出乙個紅球記2分，取出乙個白球記1分，從口袋中取5個球，使總分不小於7分的取法有多少種？
解：設取個紅球，個白球，於是：
，其中，
因此所求的取法種數是： =186（種）
【例7】 已知數列，是否存在等差數列，使對一切自然數n都成立？並證明你的結論。
解：假設滿足要求的等差數列存在，由於所給等式對一切自然數n均成立，故當n=1，2，3時等式成立，從而可解得=1， =2， =3，因此若滿足要求的等差數列存在，則必須是=n。.然後再證明當=n時所給等式確實成立即可。
答案是肯定的。
【例8】 若某一等差數列的首項為，其中m是-15除以19的餘數，則此數列前多少項的和最大？並求出這個最大值。
解：由已知得：。
注意到，從而等差數列的通項公式是：，設其前k項之和最大，則
，解得k=25或k=26，故此數列的前25項之和與前26項之和相等且最大，。
【例9】 已知的展開式的各項係數之和等於展開式中的常數項，求展開式中含的項的二項式係數。
解：先求出的常數項是27，從而可得中n=7，對於由二項展開式的通項公式知，含的項是第4項，其二項式係數是35。
【例10】 求證：能被25整除。
解：注意到即可。
【排列、組合與二項式定理練習1】
一、填空題
1．從集合中任取3個元素分別作為直線方程ax+by+c=0中的a、b、c，所得的經過座標原點的直線有_________條(用數值表示).
2．圓周上有2n個等分點(n＞1)，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數為
二、解答題
3．某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的a，有5次出牌機會，每次只能出一種點數的牌但張數不限，此人有多少種不同的出牌方法？
4．二次函式y=ax2+bx+c的係數a、b、c，在集合中選取3個不同的值，則可確定座標原點在拋物線內部的拋物線多少條？
5．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數.
(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置.
(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊.
(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起.
(4)全體排成一行，男、女各不相鄰.
(5)全體排成一行，男生不能排在一起.
(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變.
(7)排成前後二排，前排3人，後排4人.
(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人.
6．20個不加區別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小於它的編號數，求不同的放法種數.
7．用五種不同的顏色，給圖中的(1)(2)(3)(4)的各部分塗色，每部分塗一色，相鄰部分塗不同色，則塗色的方法共有幾種？
8．甲、乙、丙三人值周一至週六的班，每人值兩天班，若甲不值周
一、乙不值週六，則可排出不同的值班表數為多少？
參***
一、1.解析：因為直線過原點，所以c=0，從1，2，3，5，7，11這6個數中任取2個作為a、b兩數的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數為a=30.
答案：30
2.解析：2n個等分點可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有c種方法；再從以下的(2n－2)個等分點中任選乙個點，共有c種方法，根據乘法原理：
直角三角形的個數為：c·c=2n(n－1)個.
答案：2n(n－1)
二、3.解：出牌的方法可分為以下幾類：
(1)5張牌全部分開出，有a種方法；
(2)2張2一起出，3張a一起出，有a種方法；
(3)2張2一起出，3張a一起出，有a種方法；
(4)2張2一起出，3張a分兩次出，有ca種方法；
(5)2張2分開出，3張a一起出，有a種方法；
(6)2張2分開出，3張a分兩次出，有ca種方法.
因此，共有不同的出牌方法a+a+a+aa+a+ca=860種.
4.解：由圖形特徵分析，a＞0,開口向上，座標原點在內部f(0)=c＜0;a＜0,開口向下，原點在內部f(0)=c＞0,所以對於拋物線y=ax2+bx+c來講，原點在其內部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時，可先定一正一負的a和c，再確定b,故滿足題設的拋物線共有ccaa=144條.
5.解：(1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個位置可供甲選擇.有a種，其餘6人全排列，有a種.由乘法原理得aa=2160種.
排列組合二項式定理
變式訓練 1 09年全國2 10 甲 乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲 乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 a.6種 b.12種 c.30種 d.36種 2 09年湖北5 將甲 乙 丙 丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲 乙兩名學生不能分到同乙個班，則不同分法的種數為 ...
排列組合 二項式定理
知識梳理 一 兩個基本計數原理 1 分類計數原理 完成一件事，有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有 n m1 m2 mn 種不同的方法。加法原理 2 分步計數原理 完成一件事，需要分成n個步驟，做第一步有...
排列組合二項式定理教師
考情解讀 1 高考中對兩個計數原理 排列 組合的考查以基本概念 基本方法 如 在 不在 問題 相鄰問題 相間問題 為主，主要涉及數字問題 樣品問題 幾何問題 塗色問題 選取問題等 對二項式定理的考查，主要是利用通項求展開式的特定項，利用二項式定理展開式的性質求有關係數問題 主要考查分類與整合思想 轉...