任意角的三角函式及誘導公式
一．課標要求：
1．任意角、弧度:了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化；
2．三角函式:借助單位圓理解任意角三角函式（正弦、余弦、正切）的定義；
二．命題走向
從近幾年的新課程高考考卷來看，試題內容主要考察三角函式的圖形與性質，但解決這類問題的基礎是任意角的三角函式及誘導公式，在處理一些複雜的三角問題時，同角的三角函式的基本關係式是解決問題的關鍵。
三．知識要點精講
1．任意角的概念
我們規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了乙個零角。
2．終邊相同的角、區間角與象限角
角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那麼，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意:
如果角的終邊在座標軸上,就認為這個角不屬於任何乙個象限,稱為非象限角（或軸上角），具體讀作的非負、非正半軸及的非負、非正半軸及。
終邊相同的角是指與某個角α具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kπ(k∈z)，即β∈，根據三角函式的定義，終邊相同的角的各種三角函式值都相等。
區間角是介於兩個角之間的所有角，如
3．弧度制
長度等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度數是乙個正數，負角的弧度數是乙個負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定。
角的弧度數的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。
角度制與弧度制的換算主要抓住。
弧度與角度互換公式：1rad＝°、1°＝（rad）。
弧長公式：（是圓心角的弧度數），
扇形面積公式：。
4．三角函式定義
在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則；；。
利用單位圓定義任意角的三角函式，設是乙個任意角,
它的終邊與單位圓交於點,那麼:
(1)叫做的正弦,記做,即；
（2）叫做的余弦,記做,即；
（3）叫做的正切,記做,即。
5．三角函式線
以座標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫乙個圓，這個圓就叫做單位圓。當角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有乙個交點，過點作軸交軸於點，根據三角函式的定義：；；
我們把這三條與單位圓有關的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統稱為三角函式線。
6．同角三角函式關係式
（兩個公式，可以自己補充）
幾個常用關係式：，，；(三式之間可以互相表示)
設，兩側平方，得：
同理可以由，推出其餘兩式。
7．誘導公式:可用十個字概括為「奇變偶不變，符號看象限」。
（有十六個）
四．典例解析
題型1：象限角
例1．已知角；（1）在區間內找出所有與角有相同終邊的角；
例2．集合，那麼兩集合的關係是什麼？
例3．若sinθcosθ＞0，則θ在（ ）
a．第一、二象限 b．第
一、三象c．第
一、四象限 d．第
二、四象限
例4．已知「是第三象限角，則是第幾象限角?（注意方法，分割象限法）
題型2：三角函式定義
例5．已知角的終邊過點，求的三個三角函式值。
例6．已知角的終邊上一點，且，求的值。
題型3：誘導公式
例7．的值為 ( )
a．1b． c．0d．2
例8．化簡：
（1）；
（2）。
題型4：同角三角函式的基本關係式
例9．已知，試確定使等式成立的角的集合。
例10．（1）證明：；
（2）證明：。
以下附有限時訓練
限時訓練任意角的三角函式及誘導公式
1、在中，若，則 ．
2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為 .
3、已知，其中均為非零實數，若，則
4、已知為銳角，，則
5、若，則
6. 已知，則
7. 設則的值等於__ .
8. 在△abc中，bc=1，，當△abc的面積等於時
9. 已知，且為第一象限角，求的值。
10. 在△abc中，內角a、b、c所對的邊分別為，給出下列結論：
①若a＞b＞c，則；②若；
③必存在a、b、c，使成立；
④若，則△abc必有兩解.
其中，真命題的編號為寫出所有真命題的編號）
11. 若函式對任意的存在常數,使得恆成立,則的最小正值是
三角函式的圖象與性質
一．課標要求：
1．能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的影象，了解三角函式的週期性；2．借助影象理解正弦函式、余弦函式在[0，2π]，正切函式在（－π/2，π/2）上的性質（如單調性、最大和最小值、影象與x軸交點等）；3．結合具體例項，了解的實際意義。
二．命題走向
近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函式的圖象與性質的考查，因為函式的性質是研究函式的乙個重要內容，是學習高等數學和應用技術學科的基礎，又是解決生產實際問題的工具，因此三角函式的性質是本章複習的重點。在複習時要充分運用數形結合的思想，把圖象與性質結合起來，即利用圖象的直觀性得出函式的性質，或由單位圓上線段表示的三角函式值來獲得函式的性質，同時也要能利用函式的性質來描繪函式的圖象，這樣既有利於掌握函式的圖象與性質，又能熟練地運用數形結合的思想方法。
三．要點精講
1．正弦函式、余弦函式、正切函式的影象
2．三種三角函式的定義域、值域、單調性、奇偶性、週期性、對稱軸、對稱中心、最值點
3．函式
最大值是，最小值是，週期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。
4．由y＝sinx的圖象變換出y＝asin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。
利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移後伸縮，但先伸縮後平移也經常出現無論哪種變形，請切記每乙個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看「變數」起多大變化，而不是「角變化」多少。
途徑一：先平移變換（相位變換），再週期變換(橫向伸縮變換)，最後振幅變換（縱向伸縮變換）；
途徑二：先週期變換(橫向伸縮變換)，再平移變換（相位變換），最後振幅變換（縱向伸縮變換）。
5．由y＝asin(ωx＋)的圖象求其函式式：
8．五點法作y=asin（ωx+）的簡圖：
五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。
四．典例解析
題型1：三角函式的圖象
例1．函式y＝－xcosx的部分圖象是（ ）
例2．函式y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是（ ）
題型2：三角函式圖象的變換
例3．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y=sinx的圖象。
例4．把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是（ ）
a．（1－y）sinx+2y－3=0b．（y－1）sinx+2y－3=0
c．（y+1）sinx+2y+1=0d．－(y+1)sinx+2y+1=0
題型3：三角函式圖象的應用
例5．已知電流i與時間t的關係式為。
（１）右圖是（ω＞0，）在乙個週期內的圖象，根據圖中資料求的解析式；
（２）如果t在任意一段秒的時間內，電流都能取得最大值和最小值，那麼ω的最小正整數值是多少？
例6．（1）已知函式f（x）=asin（ωx+）（a>0，ω>0，x∈r）在一
個週期內的圖象如圖所示，求直線y=與函式f（x）圖象的所有交點的坐
標。（2）在（0，2π）內，使sinx＞cosx成立的x取值範圍為（ ）
ab．（，）
cd．（，）∪（，）
例7．（1）已知f（x）的定義域為［0，1］，求f（cosx）的定義域；
（2）求函式y=lgsin（cosx）的定義域；
例8．已知f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，並求其值域。
題型5：三角函式的單調性
例9．求下列函式的單調區間：
（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。
例10．函式y=2sinx的單調增區間是（ ）
a．［2kπ－，2kπ＋］（k∈z） b．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈z）
c．［2k－，2k］（k∈zd．［2k，2k＋］（k∈z）
題型6：三角函式的奇偶性
例11．判斷下面函式的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。
例12．關於x的函式f（x）=sin（x+）有以下命題：
①對任意的，f（x）都是非奇非偶函式；②不存在，使f（x）既是奇函式，又是偶函式；③存在，使f（x）是奇函式；④對任意的，f（x）都不是偶函式。
其中乙個假命題的序號是_____.因為當=_____時，該命題的結論不成立。
題型7：三角函式的週期性
例13．求函式y=sin6x+cos6x的最小正週期，並求x為何值時，y有最大值。
例14．設的週期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）。
例15．設m和m分別表示函式y=cosx－1的最大值和最小值，則m+m等於（ ）
abcd．－2
例16．函式y＝的最大值是（ ）
a．－1b．＋1c．1d．－1－
限時訓練三角函式的圖象與性質
高中三角函式知識點彙總
1 平面象限 第 一 二 三 四象限 角的集合 終邊在座標軸上的角 任意角注意一點問題 半形範圍的確定。2 角度制與弧度制 3 單位圓 三角函式的值得正負 4 同角三角函式間的關係 5 誘導公式 奇變偶不變，符號看象限，正負向前看 6 正 余弦函式及其性質 一 從函式平移的角度來看 1 函式的圖象上...
高中三角函式知識點複習總結
第四章三角函式 一 三角函式的基本概念 1.角的概念的推廣 1 角的分類 正角 逆轉 負角 順轉 零角 不轉 2 終邊相同角 3 直角座標系中的象限角與座標軸上的角.2.角的度量 1 角度制與弧度制的概念 2 換算關係 3 弧長公式 扇形面積公式 3.任意角的三角函式 注 三角函式值的符號規律 一正...
三角函式知識點彙總
1三角函式的概念 知識網路 考點梳理 考點一 角的概念與推廣 1 任意角的概念 正角 負角 零角 2 象限角與軸線角 與終邊相同的角的集合 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 終邊在軸上的角的集合 終邊在軸上的角的集合 終邊在座標軸上的角的集合 要點詮釋 要熟悉任...