1.1．1 任意角
①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.
②角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所形成的圖形．
1．角的有關概念：
①角的定義：
角可以看成平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所形成的圖形．
②角的名稱：
③角的分類：
④注意：
⑴在不引起混淆的情況下，「角α 」或「∠α 」可以簡化成「α 」；
⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念經過推廣後，已包括正角、負角和零角．
2．象限角的概念：
①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那麼角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．
終邊相同的角的表示：
所有與角α終邊相同的角，連同α在內，可構成乙個集合sk·360 ° ，k∈z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個周角的和．
注意：⑴ k∈z
⑵ α是任一角；
⑶ 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們相差360°的整數倍；
⑷ 角α + k·720 °與角α終邊相同，但不能表示與角α終邊相同的所有角．
思考題：已知α角是第三象限角，則2α，各是第幾象限角？
解：角屬於第三象限，
k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈z)
因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈z)
即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈z)
故2α是第
一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角．
又k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈z) ．
當k為偶數時，令k=2n(n∈z)，則n·360°+90°＜＜n·360°+135°(n∈z) ，
此時，屬於第二象限角
當k為奇數時，令k=2n+1 (n∈z)，則n·360°+270°＜＜n·360°+315°(n∈z) ，
此時，屬於第四象限角
因此屬於第二或第四象限角．
1.1.2弧度制（一）
規定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制．
定義我們規定,長度等於半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實際運算中，常常將rad單位省略．
弧度制的性質：
①半圓所對的圓心角為 ②整圓所對的圓心角為
③正角的弧度數是乙個正數負角的弧度數是乙個負數．
⑤零角的弧度數是零角α的弧度數的絕對值|α|=
4．角度與弧度之間的轉換：
①將角度化為弧度：
；；；．
②將弧度化為角度：乘以180/π
5．常規寫法：
① 用弧度數表示角時,常常把弧度數寫成多少π 的形式, 不必寫成小數
② 弧度與角度不能混用．
6．特殊角的弧度
7．弧長公式
a=l/r l=ar
弧長等於弧所對應的圓心角(的弧度數)的絕對值與半徑的積．
. 誘導公式
有向線段：
座標軸是規定了方向的直線，那麼與之平行的線段亦可規定方向。
規定：與座標軸方向一致時為正，與座標方向相反時為負。
有向線段：帶有方向的線段。
2．三角函式線的定義：
設任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點，
過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延
長線交與點.
由四個圖看出：
當角的終邊不在座標軸上時，有向線段，於是有
， ，我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。
說明：（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內，一條在單位圓外。
（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂
足；正切線由切點指向與的終邊的交點。
（3）三條有向線段的正負：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的
為負值。
（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在後面。
在直角座標系中，設α是乙個任意角，α終邊上任意一點（除了原點）的座標為，它與原點的距離為，那麼
（1）比值叫做α的正弦，記作，即；
（2）比值叫做α的余弦，記作，即；
（3）比值叫做α的正切，記作，即；
（4）比值叫做α的餘切，記作，即；
說明：①α的始邊與軸的非負半軸重合，α的終邊沒有表明α一定是正角或負角，以及α的大小，只表明與α的終邊相同的角所在的位置；
②根據相似三角形的知識，對於確定的角α，四個比值不以點在α的終邊上的位置的改變而改變大小；
③當時，α的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫座標都等於，
所以無意義；同理當時，無意義；
④除以上兩種情況外，對於確定的值α，比值、、、分別是乙個確定的實數，
正弦、余弦、正切、餘切是以角為自變數，比值為函式值的函式，以上四種函式統稱為三角函式。
2．三角函式的定義域、值域
注意：(1)在平面直角座標系內研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合.
(2) α是任意角，射線op是角α的終邊，α的各三角函式值（或是否有意義）與ox轉了幾圈，按什麼方向旋轉到op的位置無關.
(3)sin是個整體符號，不能認為是「sin」與「α」的積.其餘五個符號也是這樣.
(4)任意角的三角函式的定義與銳角三角函式的定義的聯絡與區別:
銳角三角函式是任意角三角函式的一種特例，它們的基礎共建立於相似（直角）三角形的性質，「r」同為正值. 所不同的是，銳角三角函式是以邊的比來定義的，任意角的三角函式是以座標與距離、座標與座標、距離與座標的比來定義的,它也適合銳角三角函式的定義.實質上，由銳角三角函式的定義到任意角的三角函式的定義是由特殊到一般的認識和研究過程.
(5)為了便於記憶，我們可以利用兩種三角函式定義的一致性，將直角三角形置於平面直角座標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函式模擬記憶.
①正弦值對於第
一、二象限為正（），對於第
三、四象限為負（）；
②余弦值對於第
一、四象限為正（），對於第
二、三象限為負（）；
③正切值對於第
一、三象限為正（同號），對於第
二、四象限為負（異號）．
說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函式值。
（一）同角三角函式的基本關係式：
（板書課題：同角的三角函式的基本關係）
1. 由三角函式的定義，我們可以得到以下關係：
（1）商數關係2）平方關係：
說明：①注意「同角」，至於角的形式無關重要，如等；
②注意這些關係式都是對於使它們有意義的角而言的，如
；， ， 等。
一、求值問題
例1．（1）已知，並且是第二象限角，求．
（2）已知，求．
解：（1
又∵是第二象限角， ∴，即有，從而
， （2）∵， ∴，
又∵， ∴在第二或三象限角。
當在第二象限時，即有，從而，；
當在第四象限時，即有，從而，．
總結：1. 已知乙個角的某乙個三角函式值，便可運用基本關係式求出其它三角函式值。
在求值中，確定角的終邊位置是關鍵和必要的。有時，由於角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。
2. 解題時產生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關係開平方時，漏掉了負的平方根。
例2．已知為非零實數，用表示．
解：∵，，
∴，即有，
又∵為非零實數，∴為象限角。
當在第一、四象限時，即有，從而，
當在第二、三象限時，即有，從而，
例3、已知，求
解： 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式
注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以,將分子、分母轉化為的代數式；
「化1法」:可利用平方關係，將分子、分母都變為二次齊次式，再利用商數關係化歸為的分式求值；
化簡三角函式式，化簡的一般要求是：
（1）盡量使函式種類最少，項數最少，次數最低；
（2）盡量使分母不含三角函式式；
（3）根式內的三角函式式盡量開出來；
（4）能求得數值的應計算出來，其次要注意在三角函式式變形時，常將式子中的「1」作巧妙的變形，
．誘導公式：
六組誘導公式統一為「」，
記憶口訣一：奇變偶不變，符號看象限.
記憶口訣二：縱變橫不變，符號看象限.
.物理意義：
物理簡諧運動，其中.
振幅為a，表示物體離開平衡位置的最大距離；
週期為，表示物體往返運動一次所需的時間；
頻率為，表示物體在單位時間內往返運動的次數；
為相位；
為初相.
．三角函式圖象與性質：
（注：表中k均為整數）
正弦型函式的性質及研究思路：
① 最小正週期，值域為.
② 五點法圖：把「」看成乙個整體，取時的五個
自變數值，相應的函式值為，描出五個關鍵點，得到
乙個週期內的圖象.
③ 三角函式圖象變換路線： . 或： .
④ 單調性：
的增區間，
把「」代入到增區間，
即求解.
⑤ 整體思想：
把「」看成乙個整體，代入與的性質中進行求解. 這種整體思想的運用，主要體現在求單調區間時，或取最大值與最小值時的自變數取值.
一）一、情景設定：
如圖，老鼠由a向西北逃竄，貓在b處向東追去，設問：貓能否追到老鼠？（畫圖）
結論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.
分析：老鼠逃竄的路線ac、貓追逐的路線bd實際上
都是有方向、有長短的量.
引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？
二、新課學習：
（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。
三角函式知識點
高考數學概念方法題型易誤點技巧總結 四 1 角的概念的推廣 平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成乙個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2 象限角的概念 在直角座標...
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一任意角的概念與弧度制 一 角的概念的推廣 1 角概念的推廣 在平面內，一條射線繞它的端點旋轉有兩個相反的方向，旋轉多少度角就是多少度角。按不同方向旋轉的角可分為正角和負角，其中逆時針方向旋轉的角叫做正角，順時針方向的叫做負角 當射線沒有旋轉時，我們把它叫做零角。習慣上將平面直角座標系x軸正半軸作為...
三角函式知識點及例習題
三角函式總複習教學資料 一 考綱要求 1.理解任意角的概念 弧度的意義，能正確進行弧度和角度的互換。2.掌握任意角的正弦 余弦 正切的定義，了解餘切 正割 餘割的定義，掌握同角三角函式的基本關係式，掌握正弦 余弦的誘導公式，理解週期函式與最小正週期的意義。3.掌握兩角和與兩角差的正弦 余弦 正切公式...