彭樹德(潛江中學，湖北潛江 433100)
中圖分類號:o122.4-42 文獻標識碼:a 文章編號:0488-7395(2001)12-0008-02
收稿日期:2001-03-13
作者簡介：彭樹德(1963—
)，男，湖北潛江人，潛江中學高階教師. 學生在解排列組合應用題最容易犯的錯誤就是
「重複」和「遺漏」計數.而對發生的「重」「漏」，有的學生卻不知是怎樣發生的，這也是學生覺得排列組合難學的原因之一.所以對排列組合應用題中「重」「漏」現象認真剖析，將有助於克服「重」「漏」現象的發生.
1 處理「至少」問題，容易產生「重」「漏」現象
例1 在100件產品中有3件次品，從這些產品中取出4件，則至少有一件次品的抽法有多少種.
錯解先在3件次品中抽出一件有c 13種，然後在99件產品中，任意抽出3件，抽法有c 399種，這樣抽出的4件產品中至少有一件次品，據乘法原理，符
合題意的抽法有c 13
c 399=470547種.剖析若a ,b ,c 為三件次品,d 為某合格品，則先抽出a ，再抽b ,c ,d ；與先抽b ，再抽a ,c ,d 是相同的抽法，所以上述解法因「含3件次品」的抽法重複而產生錯誤.又假認e 是另乙個合格品，先抽a ，再抽b ,d ,e ，與先抽b ，再抽a ,d ,e 也是相同的抽法，所以重複的抽法還含有「有2件次品」的情況，故上述解法中，重複的抽法有:
①23c 13c 22c 197
(抽出的4件中有3件次品，按c 13c 22c 1
97計數重複了三次，所以乘以23),②
12c 13c 12c 2
97(抽出的4件產品中有2件次品，按
c 13c 1
2c 2
97計數則重複了兩次，所以乘以12
)，共重複了14162種,
故正確的抽法總數為470547-14162=456385(種).
事實上，處理「至少」問題，為克服「重」「漏」現象，一般有兩種方法：乙個是使用「間接排除」法，即先從100件產品中任取四件有c 4100種方法，然後排
除不合題目要求的，即不含次品的抽法c 497種，則至
少有一件次品的抽法有c 4100-c 497=456385種，另一種方法是「分類」法，將至少有一件次品分成三類，第
一類為四件產品中有一件次品，有c 13c 3
97種；第二類為四件中有兩件次品有c 23c 297種；第三類為四件中有三件次品，有c 33c 197種，故共有
c 13c 397+c 23c 297+c 33c 1
97=456385種.
2 處理有兩個或兩個以上限制條件的問題時，容易
產生「重」「漏」現象
例2 用0,1,2,3,4,5,6七個數字，可以組成多少個沒有重複數字的1)四位偶數;2)比30000大的五位偶數.
錯解 1)因為個位只能排偶數，故只能在0,2,4,6中任取一值，有p 14種排法；而首位不能排0，個位已用去乙個數，故只能從剩下的5個數取乙個排在首位有p 15種；而中間兩位數字由於無條件限制應
有p 25種排法，據乘法原理，共有p 14p 15p 25=400個不同的四位偶數.
2)因排列的數為五位偶數，故個位可取0,2,4,6，有p 14種排法，而首位要取大於或等於3的數,
故有p 14種排法，故比30000大的五位偶數共有p 14p 14p 35=960個.
剖析因為個位為偶數，首位不為零或者要比2大，故此題為限制條件多於兩個的排法問題.由於有相同的元素滿足兩個限制條件，故而容易產生「重」「漏」計數.如1)的解法中，錯誤就在於未分清個位對首位取值究竟有什麼影響.
事實上，當個位為0時，首位可在1,2,3,4,5,6中任取乙個，有6種取法，而當個位為2或4或6時，首位因不能取0，故只有5種取法.所以上述解法遺漏了個位為0時，首位為1,
2,3,4,5,6之一的情況，共遺漏了p 16p 25-p 15p 25p 2
5=8數學通訊2023年第12期
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20個,故合條件的四位偶數應有400+20=420個.在第2)問中,因為當個位數取0或2與取4或6對首位取值的影響是不同的,如個位取0或2時,首位可取3,4,5,6四數之一;而箇位取4或6時,首位只能取3,4,5,6中非4或非6的3個數字之一.顯然上述解重複了個位為4或6的一部分情況,共重複計數p12p14p35-p12p13p35=2p35=120,因此比3000大的五位偶數一共為960-120=840個.
實際上,解有多個限制條件的排列組合題為避免「重」「漏」應注重使用分類的方法.如第1)問應分個位取0或取2,4,6兩種情況討論:共p11p36+p13p15p25=420個.
第2)問應分個位為0,2或4,6兩種情況,共p12p14p35+p12p13p35=840個.
3 處理分組問題,容易產生「重」「漏」現象例3 共6本不同的書平均分成3組,每組2本,共有多少種分組方法.
錯解分三步完成,首先從6本不同的書中取出2本作為一組共有c26種取法,然後從餘下的4本中任取2本作為一組,有c24種取法,最後從剩下的2本書中取出2本作為一組,有c22種取法,據乘法原理共有c26c24c22=90種分組方法.
剖析將6本書編號為a,b,c,d,e,f,則按照操作過程來講,先取ab,再取cd,最後取ef,與先取cd,再取ab,最後取ef,應為不同的分組方法,但事實上三組結果一樣.故共重複了p33=6次,故正確的
答案是1
6c26c24c22=15種.正確的解答可如下敘述:
設分組方案有x種,由於分組無順序,故xp33
=c26c24c22,∴x=c26c24c22
p33=15種.
另外,與之相關的下列四個問題,在計算時也容易產生「重」「漏」,請同學們思考,並仔細體會各題之間的相似與不同.
1)將6本不同的書分成三組:一組3本,一組2本,一組1本,共有多少種分法.(答案:c36c23c11=60種)
2)將6本不同的書平均分給3個人,有多少種分法.(答案:c26c24c22=90)
3)將6本不同的書分給3個人,一人得3本,一人得2本,一人得1本,有多少種分法.(答案: c36c23c11p33=360)
4)將6本不同的書分給甲乙丙三個人,甲得3本,乙得2本,丙得1本,有多少種不同的分法.(答案:c36c23c11=60)4 用「排除法」處理問題,容易產生「重」「漏」現象例4 鏈結正方體8個頂點的直線中,為異面直線的有多少對?
錯解先找出8個點中兩兩連線的條數c28= 28,再按照兩條一對,共有c228=378對,然後將兩條共面的減去,共面分相交、平行兩類,其中每乙個頂點可引出3條直線,共組成c23=3對相交直線,8個頂點共有24對相交直線;又每一條稜作為邊可組成三個平行四邊形,每個平行四邊形有兩組平行邊,共有平行直線3×12×2=72對,所以異面直線共有n =378-24-72=282對.
剖析這種解法很容易產生「重」「漏」現象.如從每一頂點引出直線不是3條,而是7條(含3條麵對角線和一條體對角線),應有8c27=168對共面相交直線.另外平行直線又算「重」了,如設正方體為ab cd-a1b1c1d1過稜ab的平行四邊形有abb′a′,則過稜a′b′的平行四邊形也有a′b′ba,因而計數有重複的.
事實上這樣的平行四邊形只有12個(6個正方體的面,6個對角面).故平行直線只有12×2 =24對,但同時每乙個平行四邊形又多出了一組相交對角線,所以還應減去12對共面相交直線,所以n=378-168-24-12=174對.
對於此題,為避免「重」「漏」現象,我們可以換一種思考方式.我們知道,乙個三稜錐有3對異面直線,故只需求出8個頂點可產生多少個三稜錐即可,亦即「不共面的4點」有多少組,由於共面4點有12組,正方體的6個面和6個正方體的對角面),故可產生(c48-12)個三稜錐,每個三稜錐有3對異面直線,故共有3(c48-12)=174對異面直線.
作為本文的結束,請同學們思考下面的這道題,解答後面的問題.
題 6個不同的小球放入4個不同的盒子中,每個盒子至少1個小球,應有多少種不同的分配方法.
解讓6個小球排成一排有p66種排法,中間有5個空,在這5個空中任取3個插入「隔板」,有c35種取法,這樣就可以將6個小球分成4個部分,如1|2 3|4|56,則將1號球放入第1個盒子,第2號,3號球放入第2個盒子,第4號球放入第3個盒子,第5號,6號球放入第4個盒子,這樣既有不同的小球在各個不同的盒子裡的可能又有球的個數在各盒子多種多樣的可能,據乘法原理共有p66c35=7200種.
以上解答是否出現了「重漏」現象?若出現了,請說明「重」在什麼地方?「漏」在什麼地方?並給出正確解答.同時思考將球的屬性作何種改變可以使上述解法正確?
92023年第12期數學通
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