一．抽象函式的定義域問題
例1：已知函式的定義域是[1，2]，求的定義域． 定義域是[1，4]．
例2：已知函式的定義域是[－1，2]，求函式的定義域．定義域是[1，]．
二．抽象函式的值域問題：
例3：(1)已知函式f(x)的值域為，求函式的值域。
(2) 函式g(x)是定義在r上的週期為1的函式，若在[0，1]上的值域為[-2，5]，則在[0，3]上的值域為 [-2，7]
三、尋覓特殊函式模型問題
例4：設定義於實數集r上，當x＞0時，＞1 ，且對於任意實數x、y ，有(x + y) =·，同時(1) = 2，解不等式(3x－x)＞4．
聯想：因為a= a·a (a＞0，a≠1)，因而猜測它的模型函式為= a (a＞0，a≠1)(由(1) = 2，還可以猜想= 2)． 1＜x＜2．
例5：已知函式對任意實數x、y都有=·，且=1， =9，
當0≤x＜1時，0≤＜1時．
⑴判斷的奇偶性； ⑵判斷在[0，＋∞上的單調性，並給出證明；
⑶若a≥0且≤，求a的取值範圍．
聯想：因為·= (x·y)，模型為= (由=9，還可以猜想= x)．0≤a≤2．
3、對數函式型抽象函式：對數函式型抽象函式，即由對數函式抽象而得到的函式。
例6、設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函式，滿足，求：
（1）f（1）； （2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值範圍。
分析：由題設可猜測f（x）是對數函式的抽象函式，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵，∴f（1）＝0。
（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函式，故，解之得：8＜x≤9。
4、三角函式型抽象函式
例7：已知函式f（x）的定義域為，且對於定義域內的任何x、y，有
成立，且（a為正常數），當0 < x < 2a時，．
（1）判斷的奇偶性； （2）證明為週期函式； （3）求在[2a，3a] 上的最小值和最大值．
分析: 由題設知f（x）是的抽象函式，從而由及題設條件猜想：f（x）是奇函式且在（0，4a）上是增函式（這裡把a看成進行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定義域關於原點對稱，且是定義域中的數時有
，∴在定義域中。∵
，∴f（x）是奇函式。
（2）設0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小於零，進而知中的，於是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函式。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，
，於是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大於零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函式。
綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函式。
例8：函式定義域為全體實數，對任意實數 a、b，有(a＋b)＋(a－b) =2 (a) ·(b)，
且存在c＞0 ，使得= 0 ，求證(x) 是週期函式．
聯想：因為cos(a＋b)＋cos(a－b) = 2cosacosb，且cos= 0，因而得出它的模型函式為y = cosx，由y = cosx的週期為，可猜想2c為的乙個週期．
四、抽象函式中的綜合問題
例9：定義在r上的函式滿足：對任意實數m，n，總有=·，且當x＞0時，
0＜＜1．⑴判斷的單調性；⑵設a = ，
b = ，若ab =，試確定a 的取值範圍．
解：（1）在中，令，得，因為，。
在中，令因為當時，
所以當時而
所以又當x=0時，，所以，綜上可知，對於任意，均有。
設，則所以
所以在r上為減函式。
（2）由於函式y=f(x)在r上為減函式，所以
即有又，根據函式的單調性，有
由，所以直線與圓面無公共點。因此有，
解得。例10：已知函式的定義域為，且同時滿足：①；②對一切恆成立；③若，，，則．
（1）求函式的最大值和最小值；
（2）試比較與()的大小；
（3）某同學發現：當時，有，由此他提出猜想：對一切，都有，請你判斷此猜想是否正確，並說明理由．
解：（1）設，，則
∴ ∴
∵，則當時，
∴當時，取得最大值；
又而∴∴當時，取得最小值5分
（2）在③中令，得
10分（3）對，總存在，滿足由（1）（2）得：
又∴ 綜上所述，對任意，恆成立14分
抽象函式問題
1．設f(x)為奇函式，且在(－∞，0)內是減函式，f(－2)＝0，則xf(x)＜0的解集為( )．
a．(－2,0)∪(2b．(－∞，－2)∪(0,2)
c．(－∞，－2)∪(2d．(－2,0)∪(0,2)
答案 c
2．已知定義在r上的偶函式滿足，當時有，則不等式的解集為（ b ）
ab． c． d．
3. 已知定義在區間(0，＋∞)上的函式f(x)滿足f＝f(x1)－f(x2)，且當x＞1時，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解 (1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，則＞1，
由於當x＞1時，f(x)＜0，所以f＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，
所以函式f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減函式．
(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是單調遞減函式．∴f(x)在[2,9]上的最小值為f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)得，f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值為－2.
4．函式的定義域為d：且滿足對於任意，有
（ⅰ）求的值；（ⅱ）判斷的奇偶性並證明；
（ⅲ）如果上是增函式，求x的取值範圍。
（ⅰ）解：令
（ⅱ）證明：令
令∴為偶函式。
（ⅲ）∴（1）
∵上是增函式， ∴（1）等價於不等式組：
∴∴x的取值範圍為
和倍問題 二 教師版
第十一講和倍問題 二 例題精講 例1 百貨公司賣出花布和白布共395公尺，賣出的花布是白布的4倍，花布每公尺6元，白布每公尺5元，賣出的花布和白布共值多少元？例2 甲 乙兩數之積為2500，是甲 乙兩數之和的20倍，而甲數又是乙數的4倍，甲 乙兩數各是多少？例3 甲 乙兩人共儲蓄1000元，甲取出2...
抽象函式的解題方法
解抽象函式的常用方法 抽象函式是指沒有給出具體解析式的函式。此類函式試題既能全面地考查學生對函式概念的理解及性質的代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解和轉化能力，以及對一般和特殊關係的認識，因此備受命題者的青睞，成為高考熱點。然而，由於抽象函式本身的抽象性 隱蔽性，大多數學生在解...
與抽象函式有關的問題
1.已知是定義在r上的偶函式在 0 上是減函式，證明 在 0,上是增函式。2.已知函式是奇函式，當1 x 4時，x2 4x 5，求當 4 x 1，函式的解析式。3.已知y 的定義域為r，且,若x 2時，求當x 2時，的解析式。4.是定義在r上的奇函式，在區間上是減函式，且 0 求證 在區間上是增函式...