第2課時函式的性質
【考情分析】
從近四年的高考試卷分析來看，理科對於函式的知識每年考查5到6題，所佔的分值比例為17%左右，難度以中等題、較難題為主；文科對於函式的知識每年考查5到6題，所佔的分值比例為18%左右，難度以中等題、較難題為主.本專題的知識是整個高中數學的重點內容和主幹知識，是高考數學每年必考的內容，高考對本專題知識點的考查形式靈活多變，可單獨考查，也可作為載體與其他知識結合考查.
本專題的知識以填空題、選擇題、解答題的形式均有考查，理科主要考查反函式，分段函式，函式模型，函式的奇偶性、單調性，指數函式、對數函式的影象和性質，指數方程和對數方程等知識；文科主要考查反函式，分段函式，函式的應用，二次函式的最值，函式的奇偶性、單調性，指數函式的影象和性質，指數方程和對數方程等知識.
本專題知識常與一元二次不等式、數列、解析幾何、三角函式等知識結合考查，涉及到的思想方法主要有分類討論、函式與方程和數形結合.
【重難點知識梳理】
1、函式的單調性
難點：在判斷復合函式的單調性時，要牢記當兩個函式的單調性相同時，原函式為增函式；當兩個函式的單調性不同時，原函式為減函式.即：
函式，若與單調性相同，則為增函式；若與單調性不同，則為減函式.
易錯點：在判斷復合函式的單調性時，常因忽略函式的定義域而導致錯誤.
2、函式的奇偶性
難點：給定函式在某個區間的解析式，利用函式的奇偶性求函式在整個定義域上的解析式是難點.
易錯點：1.判斷函式的奇偶性時，常因忽略函式的定義域導致錯誤.
2.判斷分段函式的奇偶性時常忽略函式在處的取值導致錯誤.
3、函式的週期性、對稱性
難點：1.偶函式滿足時，為週期函式，且可知的週期為
2.當給定週期函式在某一點處的函式值，求時，不能準確地利用函式的奇偶性、週期性找到與給定的函式值的關係.
【基礎練習】
1.設，則「函式在上是減函式 」，是「函式在r上是增函式」的（ ）（2012山東理）
a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 [**:學,科,網z,x,x,k]
c 充分必要條件 d 既不充分也不必要條件
解析：p：「函式f(x)= ax在r上是減函式 」等價於；q：「函式g(x)=(2-a) 在r上是增函式」等價於，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要條件. 答案選a。
2.下列函式為偶函式的是( )（2012廣東文）
【解析】選與是奇函式,，是非奇非偶函式
3.已知是定義在區間上的偶函式，那麼【答案】
4.若是奇函式，則實數【答案】
5.已知函式的值域為，且函式在上單調遞減，則以為斜率的直線的傾斜角為答案】（期末）
6.是定義在上的偶函式，若的解集為，則答案】1上海市行知中學高三年級第二次月考數學試卷
7. 定義在上的函式滿足，當時，，當時，.則（2012山東理）
解析：，而函式的週期為6，.
【命題立意】本小題考查函式的週期性的應用以及分段函式值的求法，難度一般.
【例題精講】
例1. 若函式在上的最大值為，最小值為，且函式在上是增函式，則.【答案】
解析： 當時，有，此時，此時為減函式，不合題意.若，則，故，檢驗知符合題意.
【命題立意】本小題考查指數函式的性質等基礎知識，考查分類討論思想和運算求解能力，難度一般.（2012山東文
例2.設函式的最大值為m，最小值為m，則m+m=____
【命題意圖】本題主要考查利用函式奇偶性、最值及轉換與化歸思想，是難題.
【解析】=，
設==，則是奇函式，
∵最大值為m，最小值為，∴的最大值為m-1，最小值為－1，
∴，=2.（2012新課標文）
例3.設是定義在上且週期為2的函式，在區間上，
其中．若，則的值為 ．
【解析】∵是定義在上且週期為2的函式，∴，即①。
又∵，，∴②，（2012江蘇）
聯立①②，解得，。∴.
例4. 已知函式，常數．
（1）當時，解不等式；
（2）討論函式的奇偶性，並說明理由；
（3）若函式在上為增函式，求的取值範圍．（2007上）
解： （1），
原不等式的解為
（2）當時，，
對任意，，
為偶函式．
當時，，
取，得，
，函式既不是奇函式，也不是偶函式．
（3）解法一：設，
，要使函式在上為增函式，必須恆成立．
，即恆成立．
又，．的取值範圍是．
解法二：當時，，顯然在為增函式．
當時，反比例函式在為增函式，
在為增函式．
當時，同解法一．
例5. 設是定義在上、以1為週期的函式，若在上的值域為，則在區間上的值域為2011上）
解法1：設在其乙個週期內單調遞增，於是在的乙個週期內也單調遞增。於是在區間內，，則
，即在乙個週期內，的值域為，注意
到是週期函式，於是在上的值域為。由於假設的單調性，於是在
區間內，
，即在上的值域為。
解法2：結合高中學過的週期函式（三角函式），特別是結合解法1構造乙個單調遞增的周
期函式如下：，於是在區間上，
即在上的值域為。
解法3：利用週期函式的性質。在區間上的值域為，則當時，
，而，於是在區間上的值域
為，依次下去，得到在區間上的值域為；在區間上
的值域為。於是函式在區間上的值域為
點評：本題是有關兩個抽象函式的定義域、值域及週期性的綜合性問題，難度較大。處理抽象函式的常規策略是數形結合或者抽象函式具體化。
例6. 已知函式.
（1）若，求的取值範圍；
（2）若是以2為週期的偶函式，且當時，有，求函式
的反函式.（2012上）
[解]（1）由，得.
由得.因為，所以，.
由得（2）當x[1,2]時，2-x[0,1]，因此
.由單調性可得.
因為，所以所求反函式是，.
【點評】本題主要考查函式的概念、性質等基礎知識以及數形結合思想，熟練掌握指數函式、對數函式、冪函式的圖象與性質是關鍵，屬於中檔題．
【能力強化】
1.若函式是奇函式，則實數【答案】1
2.若函式、分別是定義在上的偶函式和奇函式，在上都是減函式，且，則使得的的取值範圍是
【答案】上海市行知中學高三年級第二次月考數學試卷
3.定義在上的函式，對任意的均有成立，當時，，則當時，函式的解析式為
（2023年10月南洋）
4.若是上的單調遞增函式，則實數的取值範圍是 . （2023年10月南洋）
5.已知是定義域為的偶函式，當時，，那麼不等式的解集是2023年10月南洋）
6.函式的影象如圖所示，在區間上可找到個不同的數，使得，則的取值集合是
解：問題等價於直線y＝kx與函式y＝f(x)影象的交點個數，從圖中可以看出交點個數可以為2，3，4.
7.若是上的增函式，且，設，.若「」是「」的充分不必要條件，則實數的取值範圍是
（2023年10月南洋）
8. 設偶函式滿足，則________.
【答案】（2010課標全國卷理）
解法１:.∵是偶函式，∴．
∴，至此解不等式，求得不等式的解集是.
解法2: 利用圖象可以順利的解決問題, 是數形結合的完美體現.可通過對應兩個函式的圖象,較為快捷的解決問題.
點評：⑴本題目涉及的基本知識點：函式奇偶性求函式的解析式、函式的平移、不等式的解法、利用函式的圖象求不等式的解集.
⑵易錯點：容易忽略函式的奇偶性對該題的影響，導致解題出錯.
⑶數形結合更具有直觀性，快捷、簡便.
9.已知，函式在區間上既有最小值又有最大值，請分別求出、的取值範圍（用表示）．
【答案】，上海市行知中學高三年級第二次月考數學試卷
10.函式，上海市行知中學高三年級第二次月考數學試卷
（1）若對任意實數，有，求實數的取值範圍；
（2）若在上單調遞增，求實數的取值範圍.
(1)①即
（1）時，滿足
（2）時，不滿足
②. 綜上
(2) ①時，滿足；
②；③.綜上
11.定義在上的奇函式，已知當時的解析式．
（1）寫出在上的解析式；
（2）求在上的最大值（2023年10月南洋）
解：（1）
(2)∵令，∴
當時，當時，g(t)max＝g(-)＝；
12.對於函式，，若存在，對任意的，都有，則稱為「幅度函式」，其中稱為在上的「幅度」．
（1）判斷函式是否為「幅度函式」，如果是，寫出其「幅度」；
（2）已知為正整數，記關於的函式的「幅度」為，求數列的前項和；
（3）在(2)的條件下，試比較與的大小，
並說明理由．
解：（1），∴，
∴ 是「幅度函式」，其「幅度」為2
（2）∵在單調遞增，在單調遞增，
∴ 當時，，
當時，，∴的「幅度」，∴
（3）=
，令是關於的減函式
∴，∴≤
上海市行知中學高三年級第二次月考數學試卷
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