主幹知識梳理
1．概率的五個基本性質
(1)隨機事件的概率：0≤p(a)≤1.
(2)必然事件的概率是1.
(3)不可能事件的概率是0.
(4)若事件a，b互斥，則p(a∪b)＝p(a)＋p(b)．
(5)若事件a，b對立，則p(a∪b)＝p(a)＋p(b)＝1，p(a)＝1－p(b)．
2．兩種常見的概率模型
(1)古典概型
①特點：有限性，等可能性．
②概率公式：p(a)＝.
(2)幾何概型①特點：無限性，等可能性．
②p(a)＝＝
熱點一古典概型
1 (2013·山東)某小組共有a，b，c，d，e五位同學，他們的身高(單位：公尺)及體重指標(單位：千克/公尺2)如下表所示：
(1)從該小組身高低於1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的概率．
思維啟迪列舉選法的所有情況，統計符合條件的方法數，然後使用古典概型的概率公式．
解 (1)從身高低於1.80的4名同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共6個．設「選到的2人身高都在1.
78以下」為事件m，其包括的事件有3個，故p(m)＝＝.
(2)從小組5名同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10個．
設「選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)」為事件n，且事件n包括事件有：(c，d)，(c，e)，(d，e)共3個．
則p(n)＝.
2 (1)若集合a＝，集合b＝，在a∪b中隨機地選取乙個元素，則所選取的元素恰好在a∩b中的概率為________．
答案 解析易知a＝，b＝，
則a∩b＝，其中有元素16個．
a∪b中元素共有33＋50－16＝67(個)，
∴所求概率為.
(2)甲、乙兩人玩猜數字遊戲，先由甲心中想乙個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中a，b∈，若|a－b|≤1，就稱甲乙「心有靈犀」．現任意找兩人玩這個遊戲，則他們「心有靈犀」的概率為( )
a. b. c. d.
答案 d
解析根據題目條件知所有的陣列(a，b)共有62＝36組，而滿足條件|a－b|≤1的陣列(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16組，根據古典概型的概率公式知所求的概率為p＝＝.故選d.
熱點二幾何概型
3(1)(2014·湖南)在區間[－2,3]上隨機選取乙個數x，則x≤1的概率為( )
a. b. c. d.
(2)(2013·四川)節日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電後的4秒內任一時刻等可能發生，然後每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那麼這兩串彩燈同時通電後，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是( )
a. b. c. d.
思維啟迪 (1)幾何概型，試驗結果構成的區域長度；(2)幾何概型，試驗結果構成的區域為面積．
答案 (1)b (2)c
解析 (1)在區間[－2,3]上隨機選取乙個數x，則x≤1，即－2≤x≤1的概率為p＝.
(2)如圖所示，設在通電後的4秒鐘內，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x、y，x、y相互獨立，由題意可知，所以兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為p(|x－y|≤2)＝＝＝＝.
思維昇華當試驗的結果構成的區域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解；利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區域和事件發生的區域的尋找，有時需要設出變數，在座標系中表示所需要的區域．
4 (1)在區間[－3,3]上隨機取乙個數x，使得函式f(x)＝＋－1有意義的概率為________．
(2)已知p是△abc所在平面內一點，＋＋2＝0，現將一粒黃豆隨機撒在△abc內，則黃豆落在△pbc內的概率是( )
a. b.
c. d.
答案 (1) (2)d
解析 (1)由得f(x)的定義域為[－3,1]，由幾何概型的概率公式，得所求概率為p＝＝.
(2)取邊bc上的中點d，由＋＋2＝0，得＋＝2，而由向量的中點公式知＋＝2，則有＝，即p為ad的中點，則s△abc＝2s△pbc，根據幾何概率的概率公式知，所求的概率為.
熱點三互斥事件與對立事件
5 某項活動的一組志願者全部通曉中文，並且每個志願者還都通曉英語、日語和韓語中的一種(但無人通曉兩種外語)．已知從中任抽一人，其通曉中文和英語的概率為，通曉中文和日語的概率為.若通曉中文和韓語的人數不超過3人．
(1)求這組志願者的人數；
(2)現在從這組志願者中選出通曉英語的志願者1名，通曉韓語的志願者1名，若甲通曉英語，乙通曉韓語，求甲和乙不全被選中的概率．
思維啟迪無人通曉兩種外語說明抽1人，其通曉英語、通曉日語、通曉韓語是互斥的．
解 (1)設通曉中文和英語的人數為x，通曉中文和日語的人數為y，通曉中文和韓語的人數為z，且x，y，z∈n*，則解得
所以這組志願者的人數為5＋3＋2＝10.
(2)設通曉中文和英語的人為a1，a2，a3，a4，a5，甲為a1，通曉中文和韓語的人為b1，b2，乙為b1，則從這組志願者中選出通曉英語和韓語的志願者各1名的所有情況為(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，共10種，同時選中甲、乙的只有(a1，b1)1種．
所以甲和乙不全被選中的概率為1－＝.
思維昇華求解互斥事件、對立事件的概率問題時，一要先利用條件判斷所給的事件是互斥事件，還是對立事件；二要將所求事件的概率轉化為互斥事件、對立事件的概率；三要準確利用互斥事件、對立事件的概率公式去計算所求事件的概率．
6 (2013·江西)小波以遊戲方式決定是去打球、唱歌還是去下棋．遊戲規則為：以o為起點，再從a1、a2、a3、a4、a5、a6(如圖)這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為x.若x>0就去打球，若x＝0就去唱歌，若x<0就去下棋．
(1)寫出數量積x的所有可能取值；
(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解 (1)x的所有可能取值為－2，－1,0,1.
(2)數量積為－2的有·，共1種；
數量積為－1的有共6種；
數量積為0的有·，·，·，·，共4種；
數量積為1的有·，·，·，·，共4種．
故所有可能的情況共有15種．
所以小波去下棋的概率為p1＝；
因為去唱歌的概率為p2＝，
所以小波不去唱歌的概率為p＝1－p2＝1－＝.
真題感悟
7．(2014·陝西)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小於該正方形邊長的概率為( )
a. b. c. d.
答案 c
解析取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小於正方形邊長的情況有6種，概率為＝.故選c.
8．(2014·福建)如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為________．
答案 0.18
解析由題意知，這是個幾何概型問題，
＝＝0.18，
∵s正＝1，∴s陰＝0.18.
押題精練
第一講修改病句專題
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四年級奧數第一講 找規律 一 教師版
第一講找規律 一 解題方法 我們常見到一些尋找一組數規律的題,一般情況下是觀察前後兩個數或一組數的變化規律。也可以根據相隔的每兩個數之間的關係找出規律,從而推斷出要填的數。例題1 找出下列數列的排列規律,並填上合適的數。0 3 9 18 步驟由上表可知它們的差分別是3 6 9 即按照3的1倍 2倍 ...