專題八系列4選講(ⅰb部分)
第一講座標係與引數方程
1． 直角座標與極座標的互化
把直角座標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩座標
系中取相同的長度單位．如圖，設m是平面內的任意一點，它的直
角座標、極座標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則
，.2． 直線的極座標方程
若直線過點m(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
幾個特殊位置的直線的極座標方程
(1)直線過極點：θ＝α；
(2)直線過點m(a,0)且垂直於極軸：ρcos θ＝a；
(3)直線過點m(b，)且平行於極軸：ρsin θ＝b.
3． 圓的極座標方程
若圓心為m(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
幾個特殊位置的圓的極座標方程
(1)圓心位於極點，半徑為r：ρ＝r；
(2)圓心位於m(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ；
(3)圓心位於m(r，)，半徑為r：ρ＝2rsin θ.
4． 直線的引數方程
過定點m(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的引數方程為(t為引數)．
5． 圓的引數方程
圓心在點m(x0，y0)，半徑為r的圓的引數方程為(θ為引數，0≤θ≤2π)．
6． 圓錐曲線的引數方程
(1)橢圓＋＝1的引數方程為(θ為引數)．
(2)拋物線y2＝2px(p>0)的引數方程為.
1． (2013·廣東)已知曲線c的極座標方程為ρ＝2cos θ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角座標系，則曲線c的引數方程為________．
答案 (θ為引數)
解析由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ
所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
故其引數方程為(θ為引數)．
2． (2013·江西)設曲線c的引數方程為(t為引數)，若以直角座標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極座標系，則曲線c的極座標方程為________．
答案 sin θ＝ρcos2θ
解析由得曲線c的普通方程為y＝x2，①
在極座標系中，，②
將②代入①得曲線c的極座標方程為sin θ＝ρcos2θ.
3． (2013·湖北)在直角座標系xoy中，橢圓c的引數方程為(φ為引數，a>b>0)，在極座標系(與直角座標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓o的極座標方程分別為ρsin (θ＋)＝m(m為非零常數)與ρ＝b.若直線l經過橢圓c的焦點，且與圓o相切，則橢圓c的離心率為________．
答案 解析橢圓c的標準方程為＋＝1，直線l的標準方程為x＋y＝m，圓o的方程為x2
＋y2＝b2，
由題意知，
∴a2－b2＝2b2，a2＝3b2，
∴e＝＝＝＝.
4． (2011·陝西)在直角座標系xoy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極座標系，設點a，b分別在曲線c1： (θ為引數)和曲線c2：ρ＝1上，則ab的最小值為________．
答案 3
解析 ∵c1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，c2：x2＋y2＝1，
∴兩圓心之間的距離為d＝＝5.
∵a∈曲線c1，b∈曲線c2，∴abmin＝5－2＝3.
5． (2012·湖南)在直角座標系xoy中，已知曲線c1： (t為引數)與曲線c2：
(θ為引數，a>0)有乙個公共點在x軸上，則a
答案 解析 ∵消去引數t得2x＋y－3＝0.
又消去引數θ得＋＝1.
方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，
將代入＋＝1，
得＝1.又a>0，∴a＝.
題型一極座標與直角座標、引數方程與普通方程的互化
例1 已知直線l的引數方程： (t為引數)和圓c的極座標方程：ρ＝2sin (θ為引數)．
(1)將直線l的引數方程和圓c的極座標方程化為直角座標方程；
(2)判斷直線l和圓c的位置關係．
審題破題利用消參的思想可以將引數方程化為普通方程；極座標方程要利用兩種座標之間的關係．
解 (1)消去引數t，得直線l的直角座標方程為y＝2x＋1；
ρ＝2sin，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
消去引數θ，得圓c的直角座標方程為
(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)圓心c到直線l的距離d＝＝<，
所以直線l和圓c相交．
反思歸納 (1)在由點的直角座標化為極座標時，一定要注意點所在的象限和極角的範圍，否則點的極座標將不唯一．
(2)在曲線的方程進行互化時，一定要注意變數的範圍．要注意轉化的等價性．
變式訓練1 已知直線l的引數方程是(t為引數)，圓c的極座標方程為ρ＝4
cos.
(1)將圓c的極座標方程化為直角座標方程；
(2)若圓上有且僅有三個點到直線l的距離為，求實數a的值．
解 (1)由ρ＝4cos，得ρ＝4cos θ－4sin θ.
即ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ.
由得x2＋y2－4x＋4y＝0，
得(x－2)2＋(y＋2)2＝8.
所以圓c的直角座標方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝8.
(2)直線l的引數方程可化為y＝2x＋a，
則由圓的半徑為2知，圓心(2，－2)到直線y＝2x＋a的距離恰好為.
所以＝，解得a＝－6±.
題型二曲線的極座標方程
例2 在直角座標系xoy中，以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極座標系．曲線c的極座標方程為ρcos＝1，m，n分別為曲線c與x軸，y軸的交點．
(1)寫出曲線c的直角座標方程，並求m，n的極座標；
(2)設m，n的中點為p，求直線op的極座標方程．
審題破題可以通過曲線的極座標方程和直角座標方程的互化進行突破．
解 (1)∵ρcos＝1，
∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1.
又，∴ x＋y＝1.
即曲線c的直角座標方程為x＋y－2＝0.
令y＝0，則x＝2；令x＝0，則y＝.
∴m(2,0)，n.
∴m的極座標為(2,0)，n的極座標為.
(2)m，n連線的中點p的直角座標為，
p的極角為θ＝.
∴直線op的極座標方程為θ＝，ρ∈r.
反思歸納直角座標方程化為極座標方程比較容易，只要運用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入並化簡即可；而極座標方程化為直角座標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換，其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢驗．
變式訓練2 (2012·遼寧)在直角座標系xoy中，圓c1：x2＋y2＝4，圓c2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以o為極點，x軸正半軸為極軸的極座標系中，分別寫出圓c1，c2的極座標方程，並求出圓c1，c2的交點座標(用極座標表示)；
(2)求圓c1與c2的公共弦的引數方程．
解 (1)圓c1的極座標方程為ρ＝2，
圓c2的極座標方程為ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圓c1與圓c2交點的座標為，.
注：極座標系下點的表示不唯一．
(2)方法一由
得圓c1與c2交點的直角座標分別為(1，)，(1，－)．
故圓c1與c2的公共弦的引數方程為－≤t≤.
方法二將x＝1代入
得ρcos θ＝1，從而ρ＝.
於是圓c1與c2的公共弦的引數方程為
－≤θ≤.
題型三曲線的引數方程及應用
例3 (2012·福建)在平面直角座標系中，以座標原點o為極點，x軸的正半軸為極軸建立極座標系．已知直線l上兩點m，n的極座標分別為(2,0)，，圓c的引數方程為(θ為引數)．
(1)設p為線段mn的中點，求直線op的平面直角座標方程；
(2)判斷直線l與圓c的位置關係．
審題破題將m，n兩點的極座標化為直角座標，再得到圓c的普通方程問題即可解決．
解 (1)由題意知，m，n的平面直角座標分別為(2,0)，.
又p為線段mn的中點，從而點p的平面直角座標為，故直線op的平面直角座標方程為y＝x.
(2)因為直線l上兩點m，n的平面直角座標分別為(2,0)，，
所以直線l的平面直角座標方程為x＋3y－2＝0.
又圓c的圓心座標為(2，－)，半徑為r＝2，
圓心到直線l的距離d＝＝故直線l與圓c相交．
反思歸納有些題目用引數方程解決起來不方便，這時，我們一般將引數方程轉化為熟悉的普通方程，再結合我們以前學過的知識來解決．這體現了從未知到已知，從不熟悉到熟悉的轉化思想，同時會簡化運算提高做題的準確率．
變式訓練3 已知直線l的引數方程是(t是引數)，圓c的極座標方程為ρ＝2cos(θ＋)．
(1)求圓心c的直角座標；
(2)由直線l上的點向圓c引切線，求切線長的最小值．
解 (1)∵ρ＝cos θ－sin θ，
∴ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，
∴圓c的直角座標方程為x2＋y2－x＋y＝0，
即(x－)2＋(y＋)2＝1，
∴圓心直角座標為.
(2)方法一由直線l上的點向圓c引切線，
長是＝＝≥2，
∴由直線l上的點向圓c引的切線長的最小值是2.
方法二 ∵直線l的普通方程為x－y＋4＝0，
圓心c到直線l的距離是＝5，
∴由直線l上的點向圓c引的切線長的最小值是＝2.
典例 (10分)在直角座標平面內，以座標原點o為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極座標系，已知點m的極座標為，曲線c的引數方程為(α為引數)．
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