模組綜合檢測(b)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知複數z的共軛複數＝1＋2i(i為虛數單位)，則z在復平面內對應的點位於( )
a．第一象限b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
解析： 求出複數z，再確定z對應的點的座標．
∵＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在復平面內對應的點位於第四象限．
答案： d
2．已知函式y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函式y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函式的圖象是( )
解析： 根據導函式值的大小變化情況，確定原函式的變化情況．從導函式的圖象可以看出，導函式值先增大後減小，x＝0時最大，所以函式f(x)的圖象的變化率也先增大後減小，在x＝0時變化率最大．a項，在x＝0時變化率最小，故錯誤；c項，變化率是越來越大的，故錯誤；d項，變化率是越來越小的，故錯誤．b項正確．
答案： b
3．「因為指數函式y＝ax是增函式(大前提)，而y＝x是指數函式(小前提)，所以函式y＝x是增函式(結論)」，上面推理的錯誤在於( )
a．大前提錯誤導致結論錯 b．小前提錯誤導致結論錯
c．推理形式錯誤導致結論錯 d．大前提和小前提錯誤導致結論錯
解析： 推理形式沒有錯誤，而大前提「y＝ax是增函式」是不正確的，當01時，y＝ax是增函式．
答案： a
4．若複數z＝(b∈r，i是虛數單位)是純虛數，則複數z的共軛複數是( )
a． i b．－ i
c．i d．－i
解析： 因為z＝＝＝＋i是純虛數，所以2＋b＝0且2b－1≠0，
解得b＝－2.
所以z＝－i，則複數z的共軛複數是i.
答案： c
5．模擬平面內正三角形「三邊相等，三內角相等」的性質，可推出正四面體的下列性質，你認為比較恰當的是( )
①稜長相等，同一頂點上的任意兩條稜的夾角都相等；
②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角相等；
③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任意兩條稜的夾角都相等．
a．① b．②
c．③ d．①②③
解析： 三個性質都是正確的，但從「模擬」角度看，一般是「線→面」、「角→二面角」．
答案： b
6．設函式f(x)在r上可導，其導函式為f′(x)，且函式f(x)在x＝－1處取得極小值，則函式y＝xf′(x)的圖象可能是( )
解析： 由題意知f′(－1)＝0，
當x<－1時f′(x)<0，當x>－1時f′(x)>0，
∴當x<－1時，x·f′(x)>0，
當－1當x>0時，x·f′(x)>0.
答案： b
7．若dx＝3＋ln 2且a>1，則實數a的值是( )
a．2 b．3
c．5 d．6
解析： dx＝(x2＋ln x) ＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，所以a＝2.
答案： a
8．觀察式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，則可歸納出一般式子為( )
a． 1＋＋＋…＋＜(n≥2)
b． 1＋＋＋…＋＜(n≥2)
c． 1＋＋＋…＋＜(n≥2)
d． 1＋＋＋…＋＜(n≥2)
解析： 由合情推理可得．
答案： c
9．在平面內有n(n∈n＋，n≥3)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，若n條直線把平面分成f(n)個平面區域，則f(9)等於( )
a．18 b．22
c．37 d．46
解析： f(3)＝7，
f(4)－f(3)＝4，
f(5)－f(4)＝5，
…f(n)－f(n－1)＝n.
以上各式相加：
∴f(n)＝7＋4＋5＋…＋n
∴f(9)＝7＋4＋5＋…＋9＝7＋＝46.
答案： d
10．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為( )
a．1 b．2
c．－1 d．－2
解析： 設直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點為(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．
又y′＝，
∴y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，
∴y0＝0.∴x0＝－1.∴a＝2.
答案： b
11．定義複數的一種運算z1* z2＝(等式右邊為普通運算)，若複數z＝a＋bi，且正實數a，b滿足a＋b＝3，則z*的最小值為( )
a． b．
c． d．
解析： z*＝＝＝
＝，又∵ab≤2＝，
∴－ab≥－，z*≥＝＝.
答案： b
12．函式f(x)是定義在r上的奇函式，且f(1)＝0，當x>0時，有》0恆成立，則不等式f(x)>0的解集為( )
a．(－1,0)∪(1，＋∞) b．(－1,0)∪(0,1)
c．(－∞，－1)∪(1，＋∞) d．(－∞，－1)∪(0,1)
解析： 由題意知g(x)＝在(0，＋∞)上是增函式，且g(1)＝0，
∵f(x)是r上的奇函式，
∴g(x)是r上的偶函式．
的草圖如圖所示：
由圖象知：當x>1時，f(x)>0，
當－10.
∴不等式f(x)>0的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案： a
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．已知p，q為拋物線x2＝2y上兩點，點p，q的橫座標分別為4，－2，過p，q分別作拋物線的切線，兩切線交於點a，則點a的縱座標為________．
解析： 根據題意先求出p，q的座標，再應用導數求出切線方程，然後求出交點．
因為y＝x2，所以y′＝x，易知p(4,8)，q(－2,2)，所以在p，q兩點處切線的斜率的值為4或－2.
所以這兩條切線的方程為l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，
將這兩個方程聯立方程組求得y＝－4.
答案： －4
14. (＋x)dx
解析： dx＝π，
xdx＝x2＝－0＝，
∴(＋x)dx＝π＋.
答案： π＋
15．通過模擬長方形，由命題「周長為定值l的長方形中，正方形的面積最大，最大值為」，可猜想關於長方體的相應命題為
解析： 表面積為定值s的長方體中，正方體的體積最大，最大值為.
答案： 表面積為定值s的長方體中，正方體的體積最大，最大值為
16．若函式f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是r上的單調函式，則實數m的取值範圍是________．
解析： f′(x)＝3x2＋2x＋m要使f(x)是r上的單調函式，
需使δ＝4－12m≤0，
∴m≥.
答案： m≥
三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)若複數z＝1＋i，求實數a，b使得az＋2b＝(a＋2z)2.
解析： 由z＝1＋i，可知＝1－i，代入az＋2b＝(a＋2z)2，得a(1＋i)＋2b(1－i)＝[a＋2(1＋i)]2，即a＋2b＋(a－2b)i＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i.
所以解得或
18．(本小題滿分12分)已知函式f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．當k＝2時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．
解析： 當k＝2時，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.
由於f(1)＝ln 2，f′(1)＝，
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－ln 2＝(x－1)，
即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
19．(本小題滿分12分)用數學歸納法證明：當n∈n*時，1＋22＋33＋…＋nn<(n＋1)n.
證明： (1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2,1<2，不等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈n*)時不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k；
那麼，當n＝k＋1時，左邊＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右邊，即左邊《右邊，
即當n＝k＋1時不等式也成立．
根據(1)和(2)可知，不等式對任意n∈n*都成立．
20．(本小題滿分12分)設函式f(x)＝－(a＋1)x2＋4ax＋b，其中a，b∈r.
(1)若函式f(x)在x＝3處取得極小值，求a，b的值；
(2)求函式f(x)的單調遞增區間；
(3)若函式f(x)在(－1,1)內有且只有乙個極值點，求實數a的取值範圍．
解析： (1)因為f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a，
所以f′(3)＝9－6(a＋1)＋4a＝0，得a＝.
由f(3)＝，解得b＝－4.
(2)因為f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2a)(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝2a或x＝2.
當a>1時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，2)，(2a，＋∞)；
當a＝1時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞)；
當a<1時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，2a)，(2，＋∞)．
(3)由題意可得
解得－所以a的取值範圍是.
21．(本小題滿分13分)某廠生產產品x件的總成本c(x)＝1 200＋x3(萬元)，已知產品單價p(萬元)與產品件數x滿足：p2＝，生產100件這樣的產品單價為50萬元．
(1)設產量為x件時，總利潤為l(x)(萬元)，求l(x)的解析式；
(2)產量x定為多少件時總利潤l(x)(萬元)最大？並求最大值(精確到1萬元)．
解析： (1)由題意有502＝，解得k＝25×104，
∴p＝＝，
∴總利潤l(x)＝x·－1 200－＝－＋500－1 200(x>0)．
(2)由(1)得l′(x)＝－x2＋，
令l′(x)＝0＝x2，
令t＝，得＝t4t5＝125×25＝55，
∴t＝5，於是x＝t2＝25，
所以當產量定為25時，總利潤最大．
這時l(25)≈－416.7＋2 500－1 200≈883.
答：產量x定為25件時總利潤l(x)最大，約為883萬元．
22．(本小題滿分13分)已知函式f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈r)．
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