(測試時間：120分鐘評價分值：150分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．在極座標系中，已知m，下列所給出的不能表示點m的座標的是( )
a. b.
cd答案：a
2．在極座標系中，點(ρ，θ)與點(－ρ，π－θ)的位置關係是( )
a．關於極軸所在直線對稱
b．關於極點對稱
c．重合
d．關於直線θ＝ (ρ∈r)對稱
答案：a
3．在極座標系中，已知點p1、p2，則|p1p2|的值為( )
ab．5
cd.答案：a
4．極座標方程sin θ＝ (ρ∈r)表示的曲線是( )
a．兩條相交直線
b．兩條射線
c．一條直線
d．一條射線
答案：a
5．極座標方程ρ＝1表示( )
a．直線b．射線
c．圓d．橢圓
答案：c
6．極座標方程4ρsin2＝5表示的曲線是( )
a．圓b．橢圓
c．雙曲線的一支 d．拋物線
答案：d
7．曲線的極座標方程為ρ＝4sin θ，化為直角座標方程是( )
a．x2＋(y＋2)2＝4
b．x2＋(y－2)2＝4
c．(x－2)2＋y2＝4
d．(x＋2)2＋y2＝4
答案：b
8．在極座標系中，已知點a，b，o(0,0)，則△abo為( )
a．正三角形b．直角三角形
c．銳角等腰三角形 d．直角等腰三角形
答案：d
9．兩圓ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ的公共部分面積是( )
ab．π－2
c. －1d.
答案：c
10．已知點p1的球座標是p1，p2的柱座標是p2，則|p1p2|等於( )
a．2b.
c．2d.
答案：a
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將正確答案填在題中的橫線上)
11．極座標方程θ＝的直角座標方程是________．
答案：y＝－x(x≤0)
12．已知直線的極座標方程為ρsin＝，則極點到直線的距離是________．
答案：13．已知圓的極座標方程為ρ2＋2ρ(cos θ＋sin θ)＝5，則此圓在直線θ＝0上截得的弦長為________．
答案：2
14．與曲線ρcos θ＋1＝0關於θ＝對稱的曲線的極座標方程是________．
答案：ρsin θ＋1＝0
三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)
15．(本小題滿分12分)闡述由曲線y＝tan x得到曲線y＝3tan 2x的變化過程，並求出座標伸縮變換．
解析：y＝tan x的圖象上的點的縱座標不變，橫座標縮短為原來的，得到y＝tan 2x，再將其縱座標伸長為原來的3倍，橫座標不變，得到曲線y＝3tan 2x.
設y′＝3tan x′，變換公式為
將其代入y′＝3tan x′得∴
16．(本小題滿分12分)已知定點p.
(1)將極點移至o′處，極軸方向不變，求點p的新座標；
解析：設點p新座標為(ρ，θ)，如下圖所示，由題意可知：
|oo′|＝2，|op|＝4，
∠pox＝，∠o′ox＝，
∴∠poo′＝.
在△poo′中，
ρ2＝42＋(2)2－2×4×2×cos＝16＋12－24＝4，
∴ρ＝2.
又＝，∴sin ∠opo′＝×2＝，
∴∠opo′＝.
∴∠op′p＝π－－＝，
∴∠pp′x＝.
∴∠po′x′＝.
∴點p的新座標為.
(2)極點不變，將極軸逆時針轉動角，求點p的新座標．
答案：如下圖所示，
設點p新座標為(ρ，θ)，
則ρ＝4，θ＝＋＝.
∴點p的新座標為.
17．(本小題滿分14分)△abc底邊bc＝10，∠a＝∠b，以b為極點，bc為極軸，求頂點a的軌跡的極座標方程．
分析：本題利用正餘弦定理的邊角關係找到頂點a的ρ、θ之間的關係，從而求得其軌跡方程．
解析：如下圖，令a(ρ，θ)，
在△abc內，設∠b＝θ，∠a＝，又|bc|＝10，|ab|＝ρ.於是由正弦定理，得
＝，化簡，得點a軌跡的極座標方程為
ρ＝10＋20cos θ.
18．(本小題滿分14分)已知定點a(a,0)，動點p對極點o和點a的張角∠opa＝.在op的延長線上取點q，使|pq|＝|pa|.當p在極軸上方運動時，求點q的軌跡的極座標方程．
解析：設q、p的座標分別是(ρ，θ)、(ρ1，θ1)，則θ＝θ1.
在△poa中，由正弦定理得，
ρ1＝·sin，|pa|＝.
又|oq|＝|op|＋|pa|，
∴ρ＝2asin.
19．(本小題滿分14分)在平面直角座標系中，已知點a(3,0)，p是圓x2＋y2＝1上的乙個動點，且∠aop的平分線交pa於點q，求點q的軌跡的極座標方程．
分析：需要找出點q的極角和極徑的關係，在這裡我們可以通過三角形的面積建立關係．
解析：以圓心o為極點，x軸正半軸為極軸建立極座標系，設q(ρ，θ)，p(1,2θ)．
因為s△oaq＋s△oqp＝s△oap，
所以·3ρ·sin θ＋ρ·sin θ＝×3×1×sin 2θ.
整理得ρ＝cos θ.
20．(本小題滿分14分)已知半圓直徑|ab|＝2r(r＞0)，半圓外一條直線l與ab所在直線垂直相交與點t，並且|at|＝2a.若半圓上相異兩點m、n到l的距離|mp|，|nq|滿足|mp|∶|ma|＝|nq|∶|na|＝1，通過建立極座標系，求證|ma|＋|na|＝|ab|.
證明：證法一以a為極點，射線ab為極軸建立極座標系，
則半圓的極座標方程為ρ＝2rcos θ，
設m(ρ1，θ1)，n(ρ2，θ2)，
則ρ1＝2rcos θ1，ρ2＝2rcos θ2，
又|mp|＝2a＋ρ1cos θ1＝2a＋2rcos2θ1，
|nq|＝2a＋ρ2cos θ2＝2a＋2rcos2θ2，
∴|mp|＝2a＋2rcos2θ1＝2rcos θ1，
∴|nq|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcos θ2，
∴cos θ1，cos θ2是關於cos θ的方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的兩個根，由韋達定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，∴|ma|＋|na|＝2rcos θ1＋2rcos θ2＝2r＝|ab|.
證法二以a為極點，射線ab為極軸建立直角座標系，
則半圓的極座標方程為ρ＝2rcos θ，
設m(ρ1，θ1)，n(ρ2，θ2)，
又由題意知，m(ρ1，θ1)，n(ρ2，θ2)在拋物線ρ＝上，
∴2rcos θ＝，rcos2θ－rcos θ＋a＝0，
∴cos θ1，cos θ2是方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的兩個根，
由韋達定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，
∴|ma|＋|na|＝2rcos θ1＋2rcos θ2＝2r＝|ab|.
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