(時間：120分鐘；滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知集合m＝，n＝，則集合m∩n等於( )
a．c． d．
解析：選故m∩n＝．
2．已知△abc中，ab＝，ac＝1且b＝30°，則△abc的面積等於( )
a. b.
c.或 d.或
答案：d
3．在不等邊△abc中，a為最大邊，如果a2＜b2＋c2，則a的取值範圍是( )
a．90°＜a＜180° b．45°＜a＜90°
c．60°＜a＜90° d．0°＜a＜90°
解析：選c.由b2＋c2－a2＞0得cosa＞0，故a＜90°，又a為不等邊三角形中的最大角，故a＞60°.
4．若兩個等差數列、前n項和分別為an、bn，滿足＝(n∈n＋)，則的值為( )
a. b.
c. d.
解析：選c.＝＝＝＝＝＝.
5．數列滿足a1＝1，a2＝2,2an＋1＝an＋an＋2，若bn＝，則數列的前5項和等於( )
a．1 b.
c. d.
解析：選b.由2an＋1＝an＋an＋2，
得為等差數列，公差d＝a2－a1＝1，
∴an＝a1＋(n－1)×1＝n，
∴bn＝＝＝－，
∴的前5項和為s5＝11－＝.
6．設x，y∈r，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2.則＋的最大值為( )
a．2 b.
c．1 d.
解析：選
則＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3()2＝1，當且僅當a＝b＝時取等號，
所以＋的最大值為1.
7．若關於x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是m，則對任意實常數k，總有( )
a．2∈m,0∈m b．2m,0∈m
c．2∈m,0m d．2m,0m
解析：選
∵＝＝k2－1＋
＝k2＋1＋－2≥2－2>2.
∴2∈m,0∈m.
8．設等差數列的公差為2，前n項和為sn，則下列結論中正確的是( )
a．sn＝nan－3n(n－1) b．sn＝nan＋3n(n－1)
c．sn＝nan－n(n－1) d．sn＝nan＋n(n－1)
解析：選c.因為an＝a1＋(n－1)d，
所以a1＝an－2(n－1)，
所以sn＝＝×n
＝nan－n(n－1)．
9．若乙個等差數列前三項的和為34，最後三項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有( )
a．13項 b．12項
c．11項 d．10項
解析：選a.設此數列為，則
a1＋a2＋a3＝34，an＋an－1＋an－2＝146，
∴3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.
又sn＝，∴390＝，
解得n＝13.
10．(2023年高考江西卷)公差不為零的等差數列的前n項和為sn，若a4是a3與a7的等比中項，s8＝32，則s10等於( )
a．18 b．24
c．60 d．90
解析：選c.由a＝a3·a7，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)．
∵d≠0，∴2a1＋3d＝0.①
∵s8＝32，∴a1＋a8＝8，∴2a1＋7d＝8.②
由①②得∴s10＝－3×10＋×2＝60.
11．在△abc中，若三邊a，b，c的倒數成等差數列，則邊b所對的角為( )
a．銳角 b．直角
c．鈍角 d．不能確定
解析：選a.設公差為d.當d＝0時，＝＝，∴a＝b＝c，b＝60°.當d＞0時，＜＜，∴c＜b＜a，b為銳角，當d＜0時，＞＞，∴a＜b＜c，b為銳角．∴b為銳角．
12．若△abc的三邊長為a，b，c，且f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，則f(x)的圖象是( )
a．在x軸的上方 b．在x軸的下方
c．與x軸相切 d．與x軸交於兩點
解析：選a.由δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝4b2c2cos2a－4b2c2＝－4b2c2sin2 a＜0，故f(x)圖象與x軸無交點，又b2＞0則圖象在x軸上方．
二、填空題(本大題共4小題，把答案填寫在題中橫線上)
13．等比數列中，a2＝2，a5＝16，那麼數列的前6項和s6
解析：設公比為q，則，
解得，∴s6＝＝63.
答案：63
14．(2023年高考北京卷)若實數x，y滿足，則s＝y－x的最小值為________．
解析：如圖畫出可行域知，當直線過(4，－2)點時smin＝－6.
答案：－6
15．已知△abc中，三個內角a、b、c的對邊分別是a、b、c，若△abc的面積為s，且2s＝(a＋b)2－c2，則tanc的值為________．
解析：依題意，得absinc＝a2＋b2－c2＋2ab.
由餘弦定理知：a2＋b2－c2＝2abcosc.
∴absinc＝2ab(1＋cosc)，即sinc＝2(1＋cosc)．
∵sincos＝2cos2，
又0°∴sin＝2cos，即tan＝2.
∴tanc＝＝＝－.
答案：－
16．設集合a＝，b＝，若a∪b＝r，a∩b＝(3,4]，則a＋b
解析：a＝，又a∪b＝r，a∩b＝(3,4]，所以b＝，即－1,4是關於x的方程x2＋ax＋b＝0的兩個根，由此得a＝－3，b＝－4，故a＋b＝－7.
答案：－7
三、解答題(本大題共6小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．在△abc中，角a、b、c所對的三邊長分別為a、b、c，若＝c2，a＝4，b＝45°，求△abc的面積．
解：因為＝c2，
所以變形得(a＋b)(a2＋b2－c2－ab)＝0.
因為a＋b≠0，所以a2＋b2－c2－ab＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
根據餘弦定理的推論得cosc＝＝＝.
又因為0°因為b＝45°，a＋b＋c＝180°，
所以a＝180°－(60°＋45°)＝75°.根據正弦定理得＝，
所以b＝＝＝12－4.
根據三角形的面積公式得s△abc＝absinc＝×4×(12－4)×＝36－12.
18．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為a，不等式x2＋4x－5＜0的解集為b.
(1)求a∪b；
(2)若不等式x2＋ax＋b＜0的解集是a∪b，求ax2＋x＋b＜0的解集．
解：(1)解不等式x2－2x－3＜0，得a＝
解不等式x2＋4x－5＜0，
得b＝，
∴a∪b＝．
(2)由x2＋ax＋b＜0的解集是(－5,3)，
∴，解得，
∴2x2＋x－15＜0，
求得解集為．
19．△abc中角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且a(1＋cosc)＋c(1＋cosa)＝3b.
(1)求證：a，b，c成等差數列；
(2)求cosb的最小值．
解：(1)證明：由正弦定理得sina(1＋cosc)＋sinc(1＋cosa)＝3sinb
sina＋sinc＋sinacosc＋cosasinc＝3sinb
sina＋sinc＋sin(a＋c)＝3sinb
sina＋sinc＝2sinb.
由正弦定理知a＋c＝2b，
所以a，b，c成等差數列．
(2)cosb＝＝
＝＝·－
≥－＝，
所以當a＝c時，(cosb)min＝.
20.如圖所示，a是海面上一條南北方向的海防警戒線．在a上點a處有乙個水聲監測點，另兩個監測點b、c分別在a的正東方20 km處和54 km處．某時刻，監測點b收到發自靜止目標p的乙個聲波，8 s後監測點a,20 s後監測點c相繼收到這一訊號，在當時氣象條件下，聲波在水中的傳播速率是1.5 km/s.
(1)設a到p的距離為x km，用x表示b、c到p的距離，並求x的值；
(2)求靜止目標p到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km)．
解：(1)依題意，pa－pb＝1.5×8＝12(km)，
pc－pb＝1.5×20＝30(km)，
∴pb＝(x－12) km，pc＝(x＋18) km.
在△pab中，ab＝20 km，由餘弦定理，得
cos∠pab＝
＝＝.同理cos∠pac＝.
由於cos∠pab＝cos∠pac，
即＝，解得x＝km.
(2)作pd⊥a，垂足為d，在rt△pda中，
pd＝pacos∠apd＝pacos∠pab
＝x·≈17.71(km)．
所以，靜止目標p到海防警戒線a的距離約為
17．71 km.
21．在數列中，a1＝1，an＋1＝(1＋)an＋.
(1)設bn＝，求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和sn.
解：(1)由已知得b1＝a1＝1且＝＋，
即bn＋1＝bn＋，
從而b2＝b1＋，
b3＝b2＋，
…bn＝bn－1＋(n≥2)，
於是bn＝b1＋＋＋…＋，
＝2－(n≥2)，
又b1＝1，
∴的通項公式bn＝2－.
(2)由(1)知an＝n·bn＝2n－，
令tn＝＋＋＋…＋，
則2tn＝2＋＋＋…＋，
作差得：
tn＝2＋(＋＋…＋)－＝4－，
∴sn＝(2＋4＋6＋…＋2n)－tn
＝n(n＋1)＋－4.
22．設不等式組所表示的平面區域為dn，記dn內的整點個數為an(n∈n＋)．
(1)求數列的通項公式；
(2)記數列的前n項和為sn，且tn＝，若對一切的正整數n，總有tn≤m，求實數m的取值範圍．
解：(1)由x>0，y>0，y＝3n－nx>0，得0所以x＝1或x＝2，即dn內的整點在直線x＝1和x＝2上．
記直線y＝－nx＋3n為l，l與x＝1，x＝2的交點的縱座標分別為y1，y2，則y1＝2n，y2＝n，所以an＝3n(n∈n＋)．
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