( 第一講 )
王尚志：首都師範大學教授
張怡慈：首都師範大學教授
張思明：北京大學附屬中學特級教師
張思明：各位老師大家好，歡迎大家繼續參加高中數學新課程遠端培訓，我們這一講是針對模組二做整體分析。請允許我先來介紹一下到場的嘉賓：
首都師範大學博士生導師王尚志教、首都師範大學張飴慈教授，歡迎兩位老師參加我們的討論。對於模組二的整體分析，我們也從前面提到的幾個環節入手。我們先請兩位老師給模組二教學上的定位做乙個分析。
王尚志：我們像模組一一樣，還強調幾個主題詞，第乙個還是整體，第二個是從區域性到整體到區域性，第三件事情，我們希望老師和我們一起來思考幾何的教育價值，到底我們的幾何課程的教育價值在哪。下面我們按照這樣乙個順序，數學分析，標準分析，重點分析，教育分析，學情分析，教材分析，教學建議，學法指導來討論下面的問題。
我們分兩個課時來講，第乙個是立體幾何初步，我們在第二個課時裡主要分析平面解析幾何初步和「必修二」教學中應關注的幾個問題。先請張老師對立體幾何內容做乙個數學的分析。
張飴慈：好，我們首先對立體幾何的教學做乙個分析，我想幾何學和立體幾何學主要是研究空間圖形的科學，我想對這一點我們一定要有乙個很好的認識，因為幾何是乙個很直觀視覺的藝術，所以它也是乙個培養邏輯思維的載體。但是我覺得在前一段幾何教學裡面，就把它側重於培養邏輯思維載體，把它作為乙個主要的任務，做了很多技巧性很高的題目，但是對它研究空間圖形，要求我們培養學生乙個空間想象的能力，認識圖形、把握圖形的能力有所忽略，實際上我們應該看到培養邏輯思維能力，是各個學科共同的任務。
而幾何學主要是培養學生把握圖形、認識圖形的能力，而這種能力不僅是學習幾何的乙個基本能力，也是學習數學的基本能力。
所以我想一定要回歸到這個問題，就是認識到幾何學科到底是研究什麼東西，以這個作為我們立體幾何初步最重要的認識。其次就是研究幾何的方法。從整個數學來說，除了傳統從中學就開始學習綜合幾何方法以外，將來大學或者中學現在也涉及到變換的問題。
另外在高中將來主要學習的是用代數方法討論幾何問題。解析幾何、向量幾何、代數方法都可以解決，所以研究幾何是有好幾種方法的。這樣我們要看到現在的立體幾何出的問題，我們用的是綜合幾何的方法，但是在後面我們要用代數方法來討論幾何的問題，所以這個問題的定位需要清楚，在立體幾何初步裡，主要任務是培養學生對空間圖形的把握能力，適當削弱了綜合幾何證明問題，一方面是因為綜合幾何的證明在整個數學裡面，比如說他們的向量方法就不能比，向量方法不但是簡單，是乙個通性通法，而且它是乙個作用非常大的方法，而綜合幾何雖然對邏輯思維能力有一定的作用，但是在後面的發展是有限的，能夠對這個東西有乙個比較整體的認識，就知道立體幾何裡面不把證明放在非常高的地位，而把認識圖形放在主要問題的地位來看。
王尚志：我想補充張老師說的，就是綜合幾何大體上是這樣來描述的，從我們通常所說的公理、定義出發，按照演繹的方式得到一些新的結論，這種方法通常我們所說的是綜合幾何的方法，而我們歐式幾何大體上主要是按照綜合幾何的方法來展開的，但是也不盡然。
那麼所謂變換的方法，就是用我們通常所說的變換，比如我們通常所說的旋轉、平移、對稱都是變換，用這樣一種視角來認識幾何圖形，我們通常叫變換幾何，將來有相似，有射影，有所謂拓撲變換等等各種各樣的變換來認識幾何。
那麼另外乙個用代數的方法去討論幾何問題，討論圖形問題。我們老師比較熟悉的解析幾何，就是找到曲線和方程之間的關係，然後用處理方程代數方法去研究這個問題，然後去解決這個幾何問題，大體上需要經歷這樣乙個過程，幾何到代數，再到幾何。另外我們想特別說一下向量的辦法，因為向量進入高中的數學，應該說改變了整個高中幾何課程的結構，也改變了我們對於運算的認識，這一件事情我們老師必須有乙個清醒的認識，所以我想在這裡多說幾句。
剛才張老師也說了，綜合幾何的辦法我們覺得隨著數學的發展，它將融在變換幾何，或者解析幾何，向量幾何，包括後面代數拓撲方法之中，它不會凸顯作為乙個基本辦法，在後期的課程中獨立地出現，所以我想我們沒有必要過分強調這個綜合幾何的辦法，這是我們老師需要關注的一件事情。
另外我們需要認識，即或在歐式幾何裡，我們通常變換幾何依然是非常重要的，比如說要證明通常我們所說的兩個三角形全等是什麼呢？首先我們是從重合開始說起的，重合就叫全等，那麼怎麼實現兩個三角形重合呢？比如說三個邊都相等，重合不重合？
我們需要變換來解決這個問題，實際上我們有乙個假設，乙個三角形作為乙個鋼體，通過平移，通過旋轉，通過反射，是不變的。所以我們能使得不在同乙個位置上的，兩個三個邊都相等的三角形能夠重合，所以我們才說三個邊相等的兩個三角形是全等三角形。
所以我們老師必須要認清這些東西。
張飴慈：也就是說實際上歐式幾何，是在鋼體變換下保持性質不變的那一類性質。
王尚志：所以我們下面要特別強調一下向量幾何，向量幾何是我們高中乙個新內容，同時也是改變高中數學內容結構的乙個新的載體。因為向量之所以重要，我們可以從幾個角度來說，第一向量是代數的，可以算。
我記得張老師曾經講過，向量可以做加法，平行四邊形法則，或者說三角形法則，都可以體現向量的運算。另外向量還有點乘，向量還有內積，通常我們所說的數量積，點乘，將來我們還要學習向量的叉乘，以及其他的向量運算。所以向量是乙個具有豐富運算的載體，另外向量是個幾何的東西，反映它是幾何的東西，我覺得有兩個維度，第乙個可以幫助我們刻畫幾何的研究物件，可以幫助我們刻畫點，可以幫助我們刻畫直線，可以幫助我們刻畫平面，簡單的說一點乙個方向可以唯一地確定，過這個點和這個向量垂直的唯一的乙個平面。
所以可以刻畫它，所以可以得到平面向量方程，這是第乙個角度。
第二個角度，在我們幾何或者立體幾何裡研究什麼東西？研究兩個事情，乙個是點線面的位置關係，而主要的位置關係是平行和垂直。另乙個就是研究他們的度量關係，無非是長度、角度、面積、體積，在高中階段主要是長度和角度。
向量為我們研究位置關係，特別是平行和垂直提供了非常方便的方法，比如說我們說向量在刻畫垂直關係的時候，就是方向向量的點乘如果等於零，那麼它就是垂直關係。平行關係的時候，就是方向向量共線就行了。那麼同樣向量可以幫助我們去解決距離和角度，所以我們看出作為向量來說，它是乙個幾何的物件。
第三件事，乙個東西既是代數，又是幾何，它就自然而然成為連線代數和幾何的乙個橋梁。
第四件事，就是向量有著豐富的物理學背景。
第五件事，向量是乙個重要的數學模型，因此向量的重要性，我們老師必須給予足夠的認識，這一點我們輔助材料有比較詳細的論述。
那麼，另外一件事，數學分析裡張老師反覆強調的，就是幾何是培養學生空間想象力幾何直觀能力的，這不僅在學習幾何中是重要的，而且對於整個數學學習也是非常重要的。
張飴慈：我們整個高中幾何也是要從整體來看，你看立體幾何初步這一塊，你要對他的內容從區域性到整體，但是在整個高中來看，為什麼我們後面要說向量，因為你對向量有這樣的認識，才知道為什麼立體幾何初步這裡面有些證明為什麼我們要削弱了，為什麼我們現在要強調空間想象能力，就是整個定位比較清楚，因為我們整個在中學裡面，在必修二裡面是立體幾何初步和解析幾何初步。那麼除了這個以外，在必修部分裡面我們要講平面向量，然後到了選一選二裡面，我們要講空間向量和立體幾何。
然後我們解析幾何初步到了選修部分，我們要講圓錐曲線，就是說整個這樣乙個結構我們要清楚的話，我們就不會過早的在立體幾何裡面算一些度量問題，角的大小，距離問題。我想要對整體的結構有乙個認識，就能對它有乙個清楚的認識，很多東西很簡單就能處理掉了，不會在這裡用非常大的力量做這些。
王尚志：比如說我們通常所說，在現在的標準裡面，關於平行和垂直判定性質，我們就不要求在立體幾何初步裡去證明，而放在空間向量與立體幾何去證明，你要用向量的辦法去處理這件事，就變得非常簡潔，它的思路清晰，做起來也簡單。這個對於我們整體把握幾何課程，整體把握高中課題是非常重要的一件事情。
張飴慈：我想剛才說的也是我們現在課標裡面對幾何的定位問題，一定把立體幾何定位於培養和發展學生把握圖形的能力、空間想象能力、幾何直觀能力和邏輯推理的能力。那麼我想前面這幾個能力，是幾何這門課所特有要培養的能力，邏輯推理能力也是我們幾何的一部分，但是它是所有數學都共同的乙個能力，我們並不是說不要邏輯推理能力，而是要把它放在乙個適當的位置來講。
王尚志：另外就是，我們在立體幾何初步裡面，討論的一些位置關係，如果過早地強調用綜合幾何的辦法去證明，可能會對一部分同學帶來一定的困難和不必要的難度，所以這一點也是我們做這樣乙個選擇的出發點。
張飴慈：實際上有了這樣一些推理的論證，對學數學的人來說，或者對乙個中學數學老師來說，可能需要把握這樣乙個證明，但是對於高中生來說，並不要求我們把握這麼難的理論。我去年曾經在江西聽了一堂課，他們請了乙個外省很有經驗的數學老師，他總覺得標準說不要求證明判定定理，但培養邏輯思維還是應該來證明它，雖然標準不要求，雖然用的教材上沒有這個證明，但是我覺得還是應該講，結果他就在課堂上講這個證明，自己講著講著，這個證明還沒有講對。
有時候可以看到，這個證明還是很難的，既使對數學老師來說，也不見得是很容易的，何況對我們高中生來說，所以這個度要把握。
王尚志：特別是用綜合幾何的證明，有一些邏輯推理方面的要求，還是有一定的難度。我想在我們標準裡面，還有乙個內容的處理方式，有這麼幾句話，就是：
直觀感知，操作確認，思辨論證，度量計算。特別是直觀感知，我覺得這一件事情應該引起老師的注意，操作確認也是一樣，有的時候讓學生動動手，看看具體的圖形，這是非常重要的。實際上我們立體幾何的圖形，在我們生活周圍經常可以碰到，它都是我們思考立體幾何問題的乙個具體模型，所以我們在課程裡面，還特別強調所謂長方體。
張飴慈：關於直觀感知，操作確認，有很多老師還是覺得不習慣，好像不證明總是不太好的，實際上就是和上次講的必修一中指數函式和對數函式一樣，我們也是直觀感知，操作確認，也沒有證明，在代數上就不覺得這不好，到了幾何就覺得不好。我想這就是乙個認識或者習慣的問題。
王尚志：我們在立體幾何的標準裡面，提出了用長方體模型貫穿始終，這是非常重要的。我想原因從數學上來說，是因為我們大部分所用的數學是在乙個直角座標系的框架下展開的，比如說我們將來大部分學的高等數學、概率統計、數理方程、復變函式，大體上都是在直角座標系這個框架下展開的，而直角座標系這樣乙個框架，實際上可以通過乙個長方體來體現它的價值。
因此，我們大部分的研究幾何圖形的物件是發生在長方體裡，這是不嚴格地說，因此幫助學生在腦子裡建立長方體的模型，並且貫穿始終對於理解立體幾何的問題是非常重要的一件事情，而且長方體是看得見，摸得著的，我們生活的教室裡，我們學習的教室就是乙個很好的長方體的模型，
我們既要幫助學生能在長方體內部來看待他們之間的關係，也能站在長方體的外部來看待圖形之間的關係，這對於我們掌握和理解、解決一些立體幾何圖形問題是非常重要的。
張飴慈：因為長方體模型從向量觀點來看，就是向量的基本定理。就是把一般的向量用三個簡單的向量來表示，而且這三個互相正交的向量就是我們的長方體問題，這樣乙個思想，把乙個複雜的東西用簡單的東西來表示，來處理，這是乙個非常重要的數學理論思想。
從理論上來說也是比較深刻的，從實際來說又是乙個很具體，很直觀，對孩子來說很好認識的乙個東西，所以我想在這裡要有意識地往這方面去想，去用這個問題。就是非常有意識地主動把乙個問題嵌入到長方體模型，要培養這樣乙個習慣，把一般的問題用簡單的問題表述出來，這樣一種思維和習慣我覺得非常重要。
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