三角形的邊角性質
一、內容提要
三角形邊角性質主要的有：
1. 邊與邊的關係是：任意兩邊和大於第三邊，任意兩邊差小於第三邊，反過來要使三條線段能組成乙個三角形，必須任意兩條線段的和都大於第三條線段，即最長邊必須小於其他兩邊和。
用式子表示如下：
a,b,c是△abc的邊長
推廣到任意多邊形：任意一邊都小於其他各邊的和
2. 角與角的關係是：三角形三個內角和等於180；任意乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角和。
推廣到任意多邊形：四邊形內角和=2×180， 五邊形內角和=3×180
六邊形內角和=4×180 n邊形內角和=(n－2) 180
3. 邊與角的關係
1 在乙個三角形中，等邊對等角，等角對等邊；
大邊對大角，大角對大邊。
2 在直角三角形中，
△abc中∠c=rt∠(勾股定理及逆定理)
△abc中a：b：c=1：：2
△abc中a：b：c=1：1：
二、例題
例1.要使三條線段3a－1,4a+1,12－a能組成乙個三角形求a的取值範圍。
(2023年泉州市初二數學雙基賽題)
解：根據三角形任意兩邊和大於第三邊，得不等式組
解得 ∴1.5答當1.5例2.如圖
a b cd
ab=x，ac=y, ad=z 若以ab和cd分別繞著點b和點c旋轉，使點a和d重合組成三角形，下列不等式哪些必須滿足？
1 x<, ②y解由已知ab=x, bc=y－x, cd=z－x要使ab，bc，cd組成三角形，必須滿足下列不等式組：
即∴答y例3.已知△abc的三邊都是正整數，a=5, b≤a≤c,符合條件的三角形共有幾個？試寫出它們的邊長。
解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c∴符合條件的三角形共有15個，(按b,a,c排列)
它們的邊長是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；
555，556，557，558，559。
例4如圖求角a，b，c，d，e，f的度數和
解：四邊形efmn 的內角和=360度
1=∠a+∠b，∠2=∠c+∠d
1＋∠2＋∠e＋∠f＝ 360度
a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=360度
例5.△abc中，∠a≤∠b≤∠c，2∠c=5∠a，求∠b的取值範圍
(2023年泉州市初二數學雙基賽題)
解：根據題意，得
得∠c= (180－∠b)，∠a＝(180－∠b)
∴(180－∠b)≤∠b≤(180－∠b) ∴ 40≤∠b≤75
例6.在凸四邊形abcd中，ab＝bc＝cd，∠a：∠b：∠c＝1：1：2
求各內角的度數
解：作∠bcd的平分線交ad於e，
△bce≌△dce（sas） ∴∠d＝∠cbe
△bce≌△bae（sss） ∴∠cbe＝∠abe＝∠d
設∠d＝x度，則2x＋2x＋4x＋x＝360
∴x＝40（度） 答∠dab＝∠abc＝80，∠b∠d＝160，∠d＝40
三、練習
1. △abc中，a=5,b=7,則第三邊c和第三邊上的高hc的取值範圍是＿＿
2. a,b,c是△abc的三邊長，化簡得＿＿
3. 已知△abc的兩邊長a和b（a是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
4. 三邊長是連續正整數，周長不超過100的三角形共有＿＿＿個，按邊長的數字寫出這些三角形
（按由小到大的順序排列，可用省略號）（2023年全國初中數學聯賽題）
5. 各邊都是整數且周長小於13，符合條件的
1 不等邊三角形有___個，它們的邊長是
2 等腰三角形有______個，它們的邊長是
6.如果等腰三角形的周長為s，那麼腰長x的適合範圍是＿＿＿＿＿＿＿＿
7.四邊形abcd中，ab＝2，bc＝4，cd＝7，邊ad的適合範圍是＿＿＿
8.三角形不同頂點的三個外角中至少有___＿＿個鈍角
（2023年泉州市初二數學雙基賽題）
9.△abc中，a>b>c,那麼∠c的度數是範圍＿＿＿＿＿＿＿＿
（2023年泉州市初二數學雙基賽題）
10.△abc中，∠c、∠b的平分線相交於o，∠boc＝120，則∠a＝＿＿
11.△abc中，ab＝ac，∠a＝40，點d，e，f分別在bc，ac，ab上，ce＝bd，bf＝dc，則∠edf＝＿＿（2023年泉州市初二數學雙基賽題）
12.如圖∠a＋∠b＋∠c＋∠d＋∠e＋∠f＝＿＿＿＿＿度
（2023年泉州市初二數學雙基賽題）
13.如圖∠a＋∠b＋∠c＋∠d＋∠e＋∠f＋∠h＝＿＿度
14.如圖△ade中，∠ade＝140且ab＝bc＝cd＝de，則∠a＝＿＿
15.如圖∠a＋∠b＋∠c＋∠aed＝＿度（2023年泉州市初二數學雙基賽題）
（這裡∠aed是指射線ea繞端點e按逆時針方向旋轉到ed所成的角）
16.△abc的ab＝ac＝cd，ad＝bd，則∠bac＝＿＿＿度
（2023年泉州市初二數學雙基賽題）
17.△abc中，∠a＝rt∠，∠b＝60∠b的平分線交ac於d，點d到邊bc的距離為2cm,則邊ac的長是＿＿cm
(2023年泉州市初二數學雙基賽題)
c b a
e bc
d d a
18.△abc中，ab＝ac，m是ac的中點，則的值是（ ）
（a） 大於（b）大於（c）大於（d）大於
19不等邊三角形的三邊長均為整數，其周長是28，且最大邊與次大邊的差比次大邊與最小邊的差大1，則這樣的三角形共有＿＿個，它們的邊長是2023年泉州市初二數學雙基賽題）
20.菱形abcd中，點e，f分別在邊bc，cd上，且△aef為等邊三角形，求∠c的度數。
練習題參***
1. 2＜c<12, hc≤5
2. 2c
3. 2b4. 31個
5. ①3個 ②15個
6. ＜x<
7. 18. 2個
9. 0＜∠c＜60
10. 60
11. 70
12. 360
13. 540
14. 10
15. 540
16. 108
17. 6
18. （b）
19. 3個
20. 100
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