數學事業部
第一講：因式分解(一1 第二講：因式分解(二4 第三講實數的若干性質和應用7 第四講分式的化簡與求值10 第五講恒等式的證明13 第六講代數式的求值16 第七講根式及其運算19 第八講非負數23 第九講一元二次方程26 第十七講* 集合與簡易邏輯52
第十八講歸納與發現57 第十九講特殊化與一般化60 第二十講模擬與聯想64 第二十一講分類與討論68 第二十二講面積問題與面積方法71 第二十三講幾何不等式74 第二十四講* 整數的整除性78 第二十五講* 同余式81 第二十六講含引數的一元二次方程的整數根問題 ..... 84 第十講三角形的全等及其應用30 第十一講勾股定理與應用33 第十二講平行四邊形37 第十三講梯形40 第十四講中位線及其應用43 第十五講相似三角形(一46 第十六講相似三角形(二48 多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹． 1．運用公式法
在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如： (1)a2
-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2
±2ab+b2
=(a±b)2
； (3)a3
+b3=(a+b)(a2
-ab+b2
)； (4)a3
-b3=(a-b)(a2
+ab+b2
)． 下面再補充幾個常用的公式： (5)a2
+b2+c2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
；(6)a3
+b3+c3
-3abc=(a+b+c)(a2
+b2+c2
-ab-bc-ca)； (7)an
-bn=(a-b)(an-1
+an-2
b+an-3b2
+?+abn-2
+bn-1
)其中n為正整數；
(8)an
-bn=(a+b)(an-1
-an-2
b+an-3b2
-?+abn-2
-bn-1
)，其中n為偶數；
第二十七講列方程解應用問題中的量87 第二十八講怎樣把實際問題化成數學問題91 第二十九講生活中的數學(三) ——鏡子中的世界 ..... 95 第三十講生活中的數學(四)──買魚的學問99
第一講：因式分解(一)
(9)an
+bn=(a+b)(an-1
-an-2
b+an-3b2
-?-abn-2
+bn-1
)，其中n為奇數．
運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、係數、指數、符號等正確恰當地選擇公式． 例1 分解因式： (1)-2x
5n-1yn+4x
3n-1yn+2
-2xn-1yn+4
；(2)x3
-8y3
-z3-6xyz； (3)a2
+b2+c2
-2bc+2ca-2ab； (4)a7
-a5b2
+a2b5
-b7．
解 (1)原式=-2xn-1yn
(x4n-2x2
ny2+y4
2xn-1yn
[(x2
n)2-2x2
ny2+(y2)2
2xn-1yn
(x2n-y2)2
=-2xn-1yn
(xn-y)2
(xn+y)2
． (2)原式=x3
+(-2y)3
+(-z)3
-3x(-2y)(-zx-2y-z)(x2
+4y2
+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2
-2ab+b2
)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2
+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2
+(-b)2
+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2
(4)原式=(a7
-a5b2
)+(a2b5
-b7) =a5
(a2-b2
)+b5
(a2-b2)1
初中數學競賽專題培訓 25 同余式
初中數學競賽專題培訓第二十五講 同余式 數論有它自己的代數，稱為同餘理論 最先引進同餘的概念與記號的是數學王子高斯 先看乙個遊戲 有n 1個空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙兩人交替移動棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最後一格者為勝 問是先走者勝還是後走者勝？應該怎樣走才能取勝？取勝之道是...
初中數學競賽專題培訓 20 模擬與聯想
模擬就是根據兩種事物一部分類似的性質，推測這兩種事物其他類似性質的推理方法 例如，由分數的性質類似地推測分式的性質 由直線與圓的位置關係推測圓與圓的位置關係 由一次函式 一次方程 一次不等式的某些性質和解法，推測二次函式 二次方程 二次不等式的某些類似的性質與解法等 聯想是由某種事物而想到其他相關事...
初中數學競賽專題選講
三角形的邊角性質 一 內容提要 三角形邊角性質主要的有 1.邊與邊的關係是 任意兩邊和大於第三邊，任意兩邊差小於第三邊，反過來要使三條線段能組成乙個三角形，必須任意兩條線段的和都大於第三條線段，即最長邊必須小於其他兩邊和。用式子表示如下 a,b,c是 abc的邊長 推廣到任意多邊形 任意一邊都小於其...