模擬就是根據兩種事物一部分類似的性質，推測這兩種事物其他類似性質的推理方法．例如，由分數的性質類似地推測分式的性質；由直線與圓的位置關係推測圓與圓的位置關係；由一次函式、一次方程、一次不等式的某些性質和解法，推測二次函式、二次方程、二次不等式的某些類似的性質與解法等．
聯想是由某種事物而想到其他相關事物的思維活動．當我們遇到乙個數學問題時，常常想起與它類似的問題、類似的解法，從而有利於新問題的解決．
利用模擬與聯想，常常可以發現新命題和擴充套件解題思路．
1．模擬與發現
例1 已知：△abc中，∠c= 90°，ac=bc=1，bd是ac邊上的中線，e點在ab邊上，且ed⊥bd．求△dea的面積(圖2-113)．
解引cf⊥ba於f，由於bc= ac，所以cf是底邊ab上的中線．因為h為△abc的重心，所以
因為∠c=∠bde=90°，所以
∠ade=∠cbh．
又由∠a=∠bch=45°，可知△ade∽△cbh．所以
模擬如果保留例1中等腰三角形諸條件，去掉直角這一特殊性，那麼是否會產生類似的命題呢？由此想到例2．
例2 如圖2-114．已知△abc中，∠c=4∠b=4∠a，bd是ac邊上的中線，e點在ab上，且∠aed=∠c，s△abc=1，求s△aed．
解類似例1的解法，引cf⊥ab於f，交bd於h，顯然△ade不相似於△cbh．但由已知條件
∠c=4∠b=4∠a，
則∠a=∠b=30°，∠c=120°．
由於cf平分∠c，所以
∠acf＝60°．
又因為∠aed=∠acb，∠a=∠a，所以
△ade∽△abc，
所以由於△afc中∠afc=90°，∠a=30°，所以若設cf=x，則
模擬如果保留例1中的直角等條件，去掉等腰三角形這一特殊性，可以類似地得到例3．
例3 已知△abc中∠c= 90°，ac=2bc=2，bd是ac邊上的中線，cf⊥ab於f，交bd於h(圖2-115)．求s△cbh．
解本題直接求s△cbh有些困難，聯想例1、例2中的△ade，不妨引輔助線de⊥bd交ab於e．
由於ac=2bc=2，d是ac的中點，且∠c=∠bde=90°，所以
∠cbh=∠ade=45°．
因為cf⊥ab於f，所以∠bch=∠a．由於bc=ad=1，所以
△cbh≌△ade，
所以 s△cbh=s△ade.
因此只要求出s△ade即可，為此，設de=x，則
(2)例3由例1模擬而來，最自然的想法是求s△ade，為增加難度與變換方式獲得新命題，故例3反求s△cbh．
我們知道乙個三角形的三邊如果是a，b，c，那麼就有
│b-c│＜a＜b＋c，①
即三角形任意一邊小於其餘兩邊之和，大於其餘兩邊之差．
我們對①模擬：是否有
存在呢？如果②存在，那麼就發現了如下命題(例4)．
2．聯想與解題
例5 a，b為兩個不相等且都不為零的數，同時有
a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，
分析與解由已知條件，聯想到方程根的定義，a，b是方程x2＋px+q=0的兩個根，由a，b不為零，有
例6 如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求證：
x+z=2y．
分析與解 (1)展開原式有
z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，
合併、配方得
(x+z)2-4y(x+z)＋4y2=0，
即 (x+z-2y)2=0，
所以 x+z＝2y．
(2)如果看已知條件：
(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，
很像二次方程根的判別式b2-4ac的形式，因此，可聯想到方程
(x-y)t2＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等實根．由
(x-y)+(z-x)+(y-z)=0
可知1是以上方程的根，再由根與係數關係知
所以 x+z=2y．
當x=y=0，即x=y時，有x=y=z，所以
x+z=2y．
例7 化簡
分析與解這是乙個根式的化簡問題，分子、分母大同小異，自然聯想到應用因式分解，使分子、分母具有公因式，化簡就很容易了．
例8 圖2-116是我國古代數學家趙爽證明勾股定理的「弦圖」，其中「弦實」是弦平方的面積，「弦圖」以弦為邊作正方形(如正方形abcd)，然後在「弦圖」內部作四個直角三角形(如△ahb，△bec，△cdf，△dag)．設a，b，c為四個直角三角形的勾、股、弦，則根據「出入相補原理」就有
即 c2=2ab+b2-2ab+a2,
即 c2=a2+b2.
這是中國古代數學家獨立於西方畢達哥拉斯和歐幾里得發明的證法．後人沿用「出入相補原理」，也就是割補原理解決了許多數學問題，也創造了「勾股定理」的許多新證法．事實上每位初中同學，學了勾股定理，只要用心思考，一定會用割補法想出更新的證明勾股定理的方法．下面的幾例，便是同學們提出的割補圖．
設a，b，c分別為直角三角形的勾、股、弦．
(1)在圖 2-117中，有
a2+b2＝(s3+s5)+(s1+s2+s4)
＝(s4+s5)+(s1+s2+s3)
＝2s2+s1+s3=c2．
(2)在圖 2-118中，有
a2+b2＝(s3+s4)＋(s1+s2)
=s1＋s3＋s4＋s＇2＋s5=c2
(3)在圖2-119中，有
a2＋b2＝(s2＋s5)+(s1＋s3＋s4)
=s1＋s2＋s3＋s4＋s5＝c2．
(4)在圖2-120中，有
a2＋b2=(s＇2＋s5)＋(s1＋s3＋s4)
=(s＇2+s4)+(s1+s3+s5)
＝s1+s2+s3+s5=c2．
練習二十
1．在直角△abc中，∠c=90°．
(1)如果以此直角三角形三邊為邊，分別作三個正三角形(如圖2-121)，那麼面積s1，s2，s3之間有什麼關係？
(2)如果以此直角三角形三邊為直徑，分別作三個半圓，那麼面積s1，s2，s3之間有什麼關係(如圖2-122)？
(提示：聯想同分數，分母大的反而小，變比較分數的大小為比較倒數的大小．)
(提示：如聯想到已知公比之比值k，則可化難為易．)
4．參照圖2-120，寫出勾股定理的邏輯證明．
5．已知：△abc中，∠c=2∠a=2∠b，bd是∠b的分角線，e點在ab上，且∠ade=∠dbc，s△abc=1，求s△ade．
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