初中問題選講(20101114)
1. 在△abc中，∠acb=45．點d（與點b、c不重合）為射線bc上一動點，連線ad，以ad為一邊且在ad的右側作正方形adef．
（1）如果ab=ac．如圖，且點d**段bc上運動．試判斷線段cf與bd之間的數量關係和位置關係，並證明你的結論．
（2）如果ab≠ac，如圖，且點d**段bc上運動．（1）中結論是否成立，為什麼？
2． 已知正方形中，為對角線上一點，過點作交於，連線，為中點，連線．
（1）寫出線段與的數量關係和位置關係並加以證明．
（2）將圖1中繞點逆時針旋轉，如圖2所示，取中點，連線，．
你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想並加以證明．
（3）將圖1中繞點旋轉任意角度，如圖3，再連線相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？
證明：首先把△ebc繞點c逆向轉90度,得到△hdc;
由旋轉,我們得到eb⊥dh,又因為ef⊥eb,可以得到ef∥dh,同旁內角;
又因為eb=ef=dh,fg=gd,所以△efg≌△hdg,所以;
所以可以得到e,g,h三點共線.
以為ec=hc, ,所以△ech是等腰直角三角形;
,所以,由ghic共圓,得到;
所以因為等腰三角形中線和高共線,所以eg=gh.
3. 在平面直角座標系xoy中，直線l為
一、三象限的角平分線，如圖，邊長為2的正方形oabc，從第一象限開始繞o點順時針旋轉。（1）在旋轉過程中，當mn//ac時，求yoa的度數。（2）設mbn的周長為。
在正方形oabc旋轉過程中，值有何變化，為什麼？
例 ． 如圖，已知e、f分別在正方形abcd的邊ab和bc上，ab＝l，∠edf＝45°，求△bef的周長．
解題思路條件隱含著∠ade+∠fdc＝45°，若把∠ade和∠fdc拼在一起，就可以進一步分析各元素的關係，為此，選擇o為旋轉中心，實施旋轉變換．
解一： 延長ba至g，使ag＝cf，鏈結dg，△adg≌△cdf
∴ dg＝df，∠gdf＝∠fdc
∵ de＝de，∠edf＝∠edg，dg＝df，
∴ △dge≌△dfe，得ge＝ef
∴ be＋ef＋bf＝be＋ge＋bf
be＋ga＋ae＋bf
be＋cf＋ae＋bf
＝ab＋bc＝2
解二：你有更多的方法嗎?
例：△abc是等邊三角形，邊長為1，且△dac是等腰三角形，頂角adc=。m、n分別在ab和bc上， mdn= ， 求△bmn的周長。
4．如圖，△abc是等邊三角形，邊長為1，且△abc外部△dac是等腰三角形，頂角adc=。m、n分別在ab和bc上， mdn= ，（1）求△bmn的周長。（2）如圖，當△dac是△abc內部的等腰三角形時，猜想△bmn的周長並說明理由。
6．如圖，b是ac的中點，d是ce的中點，已知正方形bcgf和正方形cdhn，
（1）若g與n重合，求證：fm=mh，fmmh
（2）若cg=cn，即ce繞點c順時針旋轉乙個銳角，且m是ae的中點，求證：fm=mh，fmmh ，cmfh
（3）若cgcn，（2）結論是否成立，為什麼？
寫出梅涅勞斯（menelauss）定理並證明之並應用之
定理：設x、y、z分別是△abc的bc、ca、ab邊或其延長線上的點，且有奇數個點在邊的延長線上，則x、y、z三點共線的充要條件是。
例：（優等生初二p100）已知正數、、滿足===3，求的值。
方法一：
方法二：
例：已知，求正整數和。
分析： =1997（質數）
例：（2001全國初中數學聯賽第一試）已知，是正整數，，求的值。
例：（2010希望盃全國數學邀請賽初一第一試25） 整數，滿足方程，求的值。
例：（2010希望盃全國數學邀請賽初二第一試21） 乙個矩形的長與寬是兩個不相等的整數，它的周長與面積的數值相等，那麼這個矩形的長與寬分別是多少？
例：已知方程=，求方程的正整數解。
從1，2，3，…，100這100個數中任意挑出51個數來，證明在這51個數中，一定：
(1) 有2個數的差為50；
(2) 有2個數互質；
(3) 至少有乙個數是另乙個數的倍數。
（4）的推廣：從1，2，3，…， 2n這2n個數中任意挑出n +1個數來，證明在這n +1個數中，一定：至少有乙個數是另乙個數的倍數。
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