模組十四幾何證明選講
考綱解讀
高考大綱
分析解讀
解決本章問題常用思想方法主要是分類討論思想、運動變化思想及猜想與證明。
知識導航
考點剖析
考點一平行線截割定理、相似三角形、直角三角形射影定理
1、平行線截割定理
（1）平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等。
推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。
推論2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。
（2）平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。
推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。
2、相似三角形
（1）相似三角形的判定：
a.定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比值叫做相似比（或相似係數）。
b.判定定理：
①兩角對應相等，兩三角形相似；
②兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；
③三邊對應成比例，兩三角形相似。
c.推論：平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與三角形相似。
d.直角三角形相似的特殊判定： 如果乙個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另乙個三角形的斜邊和直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似。
（2）相似三角形的性質：
相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等於相似比；相似三角形周長的比等於相似比；相似三角形面積的比等於相似比的平方。相似三角形外接圓的直徑比、周長比等於相似比，外接圓的面積比等於相似比的平方。
3、直角三角形的射影定理
直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。
考點二圓的初步
1、圓的切線
（1）切線的性質及判定
切線的性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑。
推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點。
推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
切線的判定定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
2、相交弦定理
圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。
3、切割線定理
從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
4、圓內接四邊形
（1）圓內接四邊形的性質
定理1：圓的內接四邊形的對角互補。
定理2：圓內接四邊形的外角等於它的內角的對角。
（2）圓內接四邊形判定定理：如果乙個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形的四個頂點共圓。
推論：如果四邊形的乙個外角等於它的內角的對角，那麼這個四邊形的四個頂點共圓。
真題演練
由於北京市近五年來僅在2010、2011和2023年考查了該專題知識，因此本專題的「真題演練」版塊還將選取近兩年全國卷的試題作為練習。
1.【2012北京,5,5分】如圖. ∠acb=90，cd⊥ab於點d，以bd為直徑的圓與bc交於點e.則( )
a. ce·cb=ad·db b. ce·cb=ad·ab c. ad·ab=cd2
舉一反三
1.1【2011陝西,15,5分】如圖，∠b=∠d，，，且ab=6，ac=4，ad=12，則be
1.2 【2012湖南,11,5分】如圖，過點p的直線與圓o相交於a，b兩點.若pa=1，ab=2，po=3，則圓o的半徑等於_______.
1.3 【2012廣東,15,5分】如圖所示，圓o的半徑為1，a、b、c是圓周上的三點，滿足∠abc=30°，過點a做圓o的切線與oc的延長線交於點p，則pa
2.【2011北京,5,5分】如圖，ad，ae，bc分別與圓o切於點d，e，f，延長af與圓o交於另一點g。給出下列三個結論：
①ad+ae=ab+bc+ca；②af·ag=ad·ae；③△afb ～△adg
其中正確結論的序號是
abcd．①②③
舉一反三
2.1【2012陝西,15,5分】如圖，在圓o中，直徑ab與弦cd垂直，垂足為e，，垂足為f，若，，則zxxk
2.2【2012天津,13,5分】如圖，已知ab和ac是圓的兩條弦，過點b作圓的切線與ac的延長線相交於點d. 過點c作bd的平行線與圓相交於點e，與ab相交於點f，af=3，fb=1，ef=，則線段cd的長為
2.3 【2012湖北,15,5分】如圖，點d在⊙o的弦ab上移動，，連線od，過點d 作的垂線交⊙o於點c，則cd的最大值為
3.【2010北京,12,5分】如圖，圓o的弦的延長線交於點a，若，則
舉一反三
3.1【2011天津,12,5分】如圖，已知圓中兩條弦與相交於點，是延長線上一點，且，，若與圓相切，則線段的長為 ．
3.2【2011廣東,15,5分】如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓於,，且=7，是圓上一點使得=5，∠=∠, 則= .
3.3【2011湖南,11,5分】如圖2，是半圓周上的兩個三等分點，直徑，
,垂足為d, 與相交與點f，則的長為
4.【2012課標全國,22,10分】如圖，分別為邊的中點，直線交
的外接圓於兩點，若，證明：
（1）；
（2）△bcd～△gbd．
舉一反三
4.1【2012遼寧,22,10分】如圖，⊙o和⊙相交於兩點，過a作兩圓的切線分別交兩圓於c，d兩點，連線db並延長交⊙o於點e。
證明 (ⅰ) ；
4.2 【2012江蘇,21,10分】如圖，是圓的直徑，為圓上位於異側的兩點，鏈結並延長至點，使，鏈結．
求證：．
5.【2011課標全國,22,10分】如圖，d，e分別為△abc的邊ab，ac上的點，且不與△abc的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個根．
（ⅰ）證明：c，b，d，e四點共圓；
（ⅱ）若∠a=90°，且m=4，n=6，求c，b，d，e所在圓的半徑．
舉一反三
5.1【2011江蘇,21,10分】如圖，圓與圓內切於點，其半徑分別為與，圓的弦交圓於點（不在上），
求證：為定值。
5.2【2011遼寧,22,10分】如圖，a，b，c，d四點在同一圓上，ad的延長線與bc的延長線交於e點，且ec=ed．
（i）證明：cd//ab；
（ii）延長cd到f，延長dc到g，使得ef=eg，證明：a，b，g，f
四點共圓．
5.3【2010遼寧,22,10分】如圖，的角平分線ad的延長線交它的外接圓於點e
（i）證明：
（ii）若的面積，求的大小。
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「問路問題」中的邏輯推理
有這樣乙個故事：在太平洋中有ab兩個相鄰的小島。a島居民都是誠實的人，b島的居民都是**。
當你問乙個問題時，a島的居民會告訴你正確的答案，而b島的居民給你的答案都是錯誤的。一天，乙個旅遊者獨自登上了兩島中的某個島。他分辨不清這個島是a島還是b島，只知道這個島上的人既有本島的居民又有另一島的來客。
他想問島上的人「這是a島還是b島？」卻又無法判斷被問者的答案是否正確。旅遊者動腦筋想了會一兒，終於想出乙個辦法，他只需要問他所遇到的任意一人一句話，就能從對方的回答中準確無誤地斷定這裡是哪個島。
你能猜出旅遊者所問的問題嗎？
如果旅遊者直接問「這是a島還是b島？」那麼當被問者是a島人時，他會得到正確的回答；當被問者是b島人時，他會得到錯誤的回答。兩種回答截然相反，而旅遊者又無法知道他得到的答案對不對，因此這樣問話達不到問路的目的。
聰明的旅遊者的問話是，「你是這個島的居民嗎？」如果對方回答「是」，那麼這個島一定是a島；如果對方回答「不是」，那麼這個島一定是b島。你能說出這是為什麼嗎？
讓我們對上面的問題作些討論。旅遊者提出問題時並不知道提問地是何島，也不知道被問者是何島居民。他要從所聽到的第一句回答來判斷問話地是何島。
因此，所提問題的答案必須是因提問地而異，而不由被問者是a島居民或是b島居民發生變化。
幾何證明選講
一 考試說明要求 二 應知應會知識和方法 1 如圖所示，圓o上的一點c在直徑ab上的射影為d，cd 4，bd 8，求圓o的直徑 解 10 說明本題所用的知識點為 圓周角定理 射影定理 2 等邊 內接於 且de bc，已知於點h，bc 4，ah 求 的邊長 解設等邊的邊長為x，則它的高為，因為de b...
幾何證明選講
3年高考2年模擬 第十二章系列4第一節4 1幾何證明選講 第一部分三年高考薈萃 2012年高考數學幾何證明選講 一 填空題選擇題 1 2012年高考 天津文 如圖,已知和是圓的兩條弦,過點作圓的切線與的延長線相交於.過點作的平行線與圓交於點,與相交於點,則線段的長為 2 2012年高考 陝西文 如圖...
幾何證明選講
測試40 幾何證明選講 一 選擇題 1 矩形abcd中，摺疊矩形一邊ad，使點d落在bc邊的點f處，已知摺痕ae cm，且ce cf 3 4，則矩形abcd的周長為 a 36cm b cm c 72cm d cm 2 o上有兩點a，b，aob是小於平角的角，將 aob繞著圓心o旋轉，當點b旋轉到a時...