一、一元微積分（a組考，b組考）
例1（8分）、設，試討論該函式在內的可導性．解：當時1
注意到，由夾逼定理得當時1
同理，當時1
顯然，當時，可導1
而時，因2
所以，在時不可導，同理，在時也不可導2
例2（8分）、設在處具有二階導數，且有，
求．解：因其中1
則1於是2
2 故2
例3（8分）、確定了，求．
解：時1由知2
由知32例4（8分）、設為的原函式，當時，，且，，求．解2
2 ，故2
2例5（8分）、計算．
解（法一）：設，則原式32而1
故原式2
解（二）： 原式4
2移項整理得，原式2
例6（8分）、已知是函式的乙個原函式, 求．解 ：由題意有2
原式3=------3
例7（8分）、設在內可導，，其反函式為，且滿足，（1）求；（2）求．
解：（1）將代入，易得----2
（2）令，則有3
上式兩端關於求導，注意到，有2
將代入上式，解出1
例8（8分）、已知，且，
求．解222
則故2例9（8分）、若求與.
解：令，則2
故有13
由上述兩式解之得2
例10（8分）、（1）證明：
（2）利用（1）計算．
證明：（1）左3
移項得1
（2）原式11又2
故原式1
例11（8分）、求曲線與軸所圍成圖形的面積.解332例12（10分）、某函式滿足，其所示曲線與一條單調遞增的直線在第一象限有唯一交點，其中．
現記曲線與直線圍成的平面區域繞軸旋轉一周形成的旋轉體體積為，而它們與直線圍成的平面區域繞軸旋轉一周形成的旋轉體體積為，試確定之值，使達到最小．
解：由題意知111
2令1由知於上單調遞增1
於是，時，有1
令，得唯一駐點1
由極值的第一充分條件易知，即時，達到最小1例13（8分）、就引數，討論曲線與交點的個數．解：令即，考慮方程1
令1則及1
故有唯一駐點，由②可知是的最小值1
又注意到1
當時，方程①有兩解，曲線有兩個交點1
當時，方程①有一解，曲線有乙個交點1
當時，方程①無解，曲線沒有交點1
例14（8分）、設當時，方程有且僅有乙個根，求的取值範圍.
解：設，當，為減函式2
又=， ，故滿足題意2
當，令，得唯一駐點，由知其為極小點2
若原方程或無解或有兩解，僅當時有且僅有乙個根，綜上所述，的取值範圍為及2
例15（10分）、求使得不等式對所有的正整數都成立的最小的數.
解：由解得2
「高等數學競賽」方案
內江師範學院第九屆大學生科技活動周 一 承辦單位 數學與資訊科學學院 2 參賽物件 內江師範學院所有全日制在校學生 3 參賽時間 2011年4月23日 星期六 上午9 00 11 00。4 具體安排 一 競賽形式 閉卷考試。二 競賽內容 1 非數學專業組競賽內容 同濟大學數學系編 高等數學 第六版 ...
高等數學競賽試題
姓名班級 一 設函式由方程確定，試求 10分 二 若 試確定常數的值。10分 三 10分 四 設一階連續可導，且 0，求證 至少存在乙個，使 10分 五 設利用導數證明 15分 六 設，且，當時，有，試求。15分 七 假設曲線 0 軸和所圍成的平面區域被曲線 分為面積相等的的兩部分，其中是大於零的常...
高等數學競賽輔導材料
ch1.函式極限與連續 1.求的反函式.2.求的反函式.3.求的反函式.4.設 求.5.設是定義在內的乙個函式,滿足關係 求.6.設對一切實數,滿足關係式 求.7.設函式的圖形關於兩直線和分別對稱,證明 函式為週期函式.8.設,試問是否連續.9.求的表示式.10.設,求 11.求下列極限 12 34...