2 ．左、右極限
在函式極限的概念中，自變數的變化趨向， x 可以從 x0的左、右兩側趨向於 x0但有時只需考慮 x 僅從x0的左側趨向於x0（記成），或x僅從x0的右側趨向於x0（記成）
若當時， f （ x ）無限趨近於常數 a ，則稱 f （ x ）當時的左極限為 a ，記成或。
類似地，有 f （ x ）當時的右極限，記成或，以及與。
函式 f （ x ）當（或）時的極限存在的充分必要條件，是函式的左、右極限均存在且相等，即
3 ．極限運算法則
（ l ） （極限的四則運算法則）
注意：上述記號「 lim 」下的自變數變化過程可以是、、、、、，但等號兩端出現的必需是同一種。
（ 3 ） （復合函式的極限運算法則）
設函式 y = f[g （ x ）]是由函式 y = f （ u）與函式u = g （ x）復合而成， f [ g （ x）] 在點 x0 的某去心領域內有定義，若，，且存在當時，有，則
（二）極限存在準則和兩個重要極限
1 ．夾逼準則和極限
準則i（數列情形）若數列且xn、yn、及zn滿足條件： （n= 1 , 2 , 3 ，…）且則數列xn的極限存在且
準則i』（函式情形）若函式 f （ x ）、 g （ x ）及 h （ x ）滿足條件：
利用準則i』，可得乙個重要極限
2 ．單調有界準則和極限
準則ii 單調有界的數列（或函式）必有極限。
利用準則ii，可得另乙個重要極限
其中 e 是乙個無理數， e =2 . 71828 … …
（三）無窮小的比較
設 a 及都是在同乙個自變數變化過程中的無窮小,且0， lim也是在這個變化過程中的極限。
若 lim =0，就稱是比a高階的無窮小，記作=（a）；並稱a是比低階的無
窮小；若 lim =c 0，就稱是與 a 同階的無窮小；
若 lim =1, 就稱是與 a 等階的無窮小，記作a 。
關於等價無窮小，有以下性質：
若,且 lim存在，則
當 x 0時，有以下常用的等價無窮小：
（四）例題
一般地，對有理分式函式
其中p（ x ）、 q （ x ）是多項式， 若（x）=q（x0）0,則
注意：若 q （ x 0） = 0 ，則關於商的極限運算法則不能應用，需特殊考慮。
【例1-2-2】 求
【 解 】 （x2- 9 ） = 0 ，不能應用商的極限運算法則。但分子、分母有公因子x-3,故
【例1-2-3】 。
【 解 】 （ x2-5x+4）=0,（2x-3）= -1,故
從而【例 l -2 -4】 求。
【 解 】 當 x 時，分子、分母都為無窮大，不能應用商的極限運算法則，但可先用 x3 去除分子、分母，故
【例1-2-5】 等於
（ a ） 1
（ b ） 0
（ c ）不存在且不是
（ d ）
【解】 由於=0，，按照「有界函式與無窮小的乘積是無窮小」，故應選（b）, 注意不要與極限=1相混淆。
【例1-2-6】 求。
【例1-2-7】 求。
【 解 】 令 x＝- t ,則當 x 時，t。於是
【例1-2-8】 求。
【例1-2-9】 求。
【解】當 x 0 時，tan2x 2x, sin5x 5x，所以
【例1-2-10】 求。
【解】 當 x 0時，,cosx-1-,所以
【例1-2-11】 等於
（ a ）2
（ b ） 0
（ c ）
（ d ）不存在且不是
【解】 因為
所以故極限不存在，且不是，應選（ d ）。
【 例 1 -2- 12 】 設f（ x ） = 2x＋ 3 x -2 ，則當 x 0 時，有
（ a ） f （ x ） 與 x 是等價無窮小
（ b ） f （ x ）與 x 同階但非等價無窮小
（ c ） f （ x ）是比 x 高階的無窮小
（d）f （ x ）是比 x 低階的無窮小
【解】所以應選（ b ）。
【 例 1 -2 -13 】 當 x 0 時， tanx - sinx 是x3的
（ a ）高階無窮小
（ b ）低階無窮小
（ c ）同階但非等價無窮小
（ d ）等價無窮小
【解】應選（ c ）。
注意：當 x o 時， tanx ~ x ，sinx ~x ，但不能得出 tanx - sinx ~ x - x = 0 ，從而得出上述極限為零，而選（ a ）。事實上，上面的計算結果表明 tanx- sinx~。
由此可知，在利用等價無窮小求極限時，不能對分子或分母中的某個加項作代換，而應該對分子或分母的整體，或其中的無窮小的因子作等價代換，才不致出錯。
【 例1-2-14 】 極限 lim （ 1 十 cosx ） 2secx 的值等於
（a）e
（b）e2
（c）e-1
（d）e-2【解】
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