空間解析幾何
基本知識
一、向量
1、已知空間中任意兩點和，則向量
2、已知向量、，則
（1）向量的模為
（2）（3）
3、向量的內積
（1）（2）
其中為向量的夾角，且
注意：利用向量的內積可求直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。
4、向量的外積（遵循右手原則，且、）
5、（1）
（2）二、平面
1、平面的點法式方程
已知平面過點，且法向量為，則平面方程為
注意：法向量為垂直於平面
2、平面的一般方程，其中法向量為
3、（1）平面過原點
（2）平面與軸平行（與面垂直）法向量垂直於軸
（如果，則平面過軸）
平面與軸平行（與面垂直）法向量垂直於軸
（如果，則平面過軸）
平面與軸平行（與面垂直）法向量垂直於軸
（如果，則平面過軸）
（3）平面與面平行法向量垂直於面
平面與面平行法向量垂直於面
平面與面平行法向量垂直於面
注意：法向量的表示
三、直線
1、直線的對稱式方程
過點且方向向量為直線方程
注意：方向向量和直線平行
2、直線的一般方程，注意該直線為平面和的交線
3、直線的引數方程
4、（1）方向向量，直線垂直於軸
（2）方向向量，直線垂直於軸
（3）方向向量，直線垂直於軸
5、（1）方向向量，直線垂直於面
（2）方向向量，直線垂直於面
（3）方向向量，直線垂直於面
應用一、柱面
1、設柱面的準線方程為，母線的方向向量，求柱面方程
方法：在準線上任取一點，則過點的母線為
又因為在準線上，故
（12）
令3）由（1）、（2）、（3）消去求出，再把代入求出關於的方程，則該方程為所求柱面方程
例1：柱面的準線為，而母線的方向為，求這柱面方程
解：在柱面的準線上任取一點，則過點的母線為
即（1）
又因為在準線上，故（2），（3）
由（1）（2）（3）得
2、圓柱面是動點到對稱軸的距離相等的點的軌跡，該距離為圓柱面的半徑
方法：在圓柱面上任取一點，過點做一平面垂直於對稱軸，該平面的法向量為對稱軸的方向向量，把該平面方程和對稱軸方程聯立求得平面和對稱軸的交點，則為圓柱的半徑
例2：已知圓柱面的軸為，點（1，-2，1）在此圓柱面上，求這個圓柱面的方程。
解：設圓柱面上任取一點，過點且垂直於軸的平面為
軸方程的引數式為代入平面方程得
故該平面和軸的交點為
過點（1，-2，1）和軸垂直的平面和軸的交點為
因為圓柱截面的半徑相等，故利用距離公式得
注意：也可找圓柱面的準線圓處理
例3：求以直線x=y=z為對稱軸，半徑r=1的圓柱面方程
解：在圓柱面上任取一點，過點且垂直於軸的平面為
軸方程的引數式為代入平面方程得
故該平面和軸的交點為m1
則的長等於半徑r=1
故利用距離公式得
即所求方程為
二、錐面
錐面是指過定點且與定曲線相交的所有直線產生的曲面。這些直線是母線，定點為頂點，定曲線為準線。
1、設錐面的準線為，頂點為，求錐面方程
方法：在準線上任取一點，則過點的母線為
（1）又因為在準線上，故
（22）
由（1）、（2）、（3）消去求出關於的方程，則該方程為所求錐面方程
例1錐面的頂點在原點，且準線為，求這錐面方程。
解：在準線上任取一點，則過點的母線為
又因為在準線上，故且
上面三個方程消去得
2、圓錐面
已知圓錐面的頂點，對稱軸（或軸）的方向向量為，求圓錐面方程
方法：在母線上任取一點，則過該點的母線的方向向量為
利用和的夾角不變建立關於的方程，該方程為所求
例2求以三根座標軸為母線的圓錐面的方程。（）
解：在座標軸上取三點，則過三點的平面為
故對稱軸的方向向量為，一條母線的方向向量為，
則母線和對稱軸的夾角為，即
在母線上任取一點，則過該點的母線的方向向量為
所以例3圓錐面的頂點為，軸垂直於平面，母線和軸成，求圓錐面方程
解：在母線上任取一點，軸的方向向量為，母線的方向向量為
則即三、旋轉曲面
設旋轉曲面的母線方程為，旋轉軸為，求旋轉曲面方程
方法：在母線上任取一點，所以過的緯圓方程
又因為在母線上，有
由上述四個方程消去的方程為旋轉曲面
例4求直線繞直線：旋轉一周所得的旋轉曲面的方程。
解：在母線上任取一點，則過的緯圓方程
又因為在母線上，有
由上述方程消去的方程得
四、幾種特殊的曲面方程
1、母線平行於座標軸的柱面方程
設柱面的準線是平面上的曲線，則柱面方程為
設柱面的準線是平面上的曲線，則柱面方程為
設柱面的準線是平面上的曲線，則柱面方程為
注意：（1）母線平行於座標軸的柱面方程中只含兩個字母
（2）準線為座標平面內的橢圓、雙曲線、拋物線等柱面稱為橢圓柱面、雙曲線柱面、拋物線柱面
例求柱面方程
（1）準線是，母線平行於軸
解：柱面方程為
（2）準線是，母線平行於軸
解：柱面方程為
（3）準線是，母線平行於軸
解： 2、母線在座標面上，旋轉軸是座標軸的旋轉曲面
設母線是，旋轉軸是軸的旋轉曲面為；旋轉軸是軸的旋轉曲面為
（同理可寫出其它形式的旋轉曲面方程）
注意：此類旋轉方程中一定含有兩個字母的平方和的形式，且它們的係數相等。
例方程是什麼曲面，它是由面上的什麼曲線繞什麼軸旋轉而成的
解：面上的繞軸旋轉而成的
3、平行於座標面的平面和曲面的交線方程
平行於面的平面和曲面的交線為
平行於面的平面和曲面的交線為
平行於面的平面和曲面的交線為
例求曲面和三個座標面的交線
（1）解：、、
（2）解：注意在面上無交線
（3）解：在面上交於一點
五、求投影
1、求點在平面上的投影、求點到平面的距離、求關於平面的對稱點
方法：（1）過點作直線垂直於平面，該直線的方向向量為平面的法向量
（2）求直線和平面的交點，該交點為點在平面上的投影
例5（1）求點在平面上的投影
（2）求點到平面的距離，並求該點關於平面的對稱點座標
（1）求過直線且與點的距離為1的平面方程
2、求點在直線上的投影、求點到直線的距離、求關於直線的對稱點
方法：（1）過點作平面垂直於直線，該平面的法向量為直線的方向向量
（2）求直線和平面的交點，該交點為點在直線上的投影
例6（1）求點到直線的距離，該點在直線上的投影
（2）求點到直線的距離
3、直線在平面上的投影
方法：（1）過直線作平面和已知平面垂直，該平面的法向量為直線的方向向量和已知平面法向量的外積
（2）聯立兩個平面方程所得直線為該直線在平面上的投影
例7（1）求直線在平面上的投影直線的方程
（2）直線在面上的投影為，在面上的投影為，求直線在面上的投影
4、曲線在座標面上的投影柱面及投影
方法：（1）消去得，則為曲線在面上的投影
（2）消去得，則為曲線在面上的投影
（3）消去得，則為曲線在面上的投影
例（1）求球面與平面的交線在面上的投影柱面及投影
（2）把曲線的方程用母線平行於軸和軸的兩個投影柱面方程表示
解：消去得母線平行於軸的投影柱面方程；消去得母線平行於軸的投影柱面方程，因此曲線可表示為
五、求平面方程
1、過直線的平面方程可設為
如果直線方程是點向式或引數式可轉化為上述形式處理
例（1）在過直線的平面中找出乙個平面，使原點到它的距離最長。
（2）平面過軸，且與平面的夾角為，求該平面方程
（兩平面夾角等於兩法向量的夾角或兩法向量的夾角的補角）
（3）求過點和直線的平面方程
（4）過直線作平面，使它平行於直線
(5)過平面和的交線作切於球面的平面
（6）求由平面所構成的兩面角的平分面方程
2、利用點法式求平面方程
注意：（1）任何垂直於平面的向量均可作為平面的法向量
（2）和平面平行的平面可設為
（3）如存在兩個向量、和平面平行（或在平面內），則平面的法向量為
例（1）已知兩直線為，，求過兩直線的平面方程
（2）求過和兩點，且垂直於平面的平面
（3）一平面垂直於向量且與座標面圍成的四面體體積為9，求平面方程
（4）已知球面與一通過球心且與直線垂直的平面相交，求它們的交線在面上的投影
3、軌跡法求方程
方法：（1）設平面上任一一點（2）列出含有的方程化簡的平面方程
例求由平面和所構成的二面角的平分面的方程
六、求直線方程
1、把直線的一般方程化為點向式方程
方法：已知直線方程為，則該直線的方向向量為
在直線上任取一點，則直線方程為
例化直線的一般方程為標準方程
2、根據直線的方向向量求直線方程
例（1）過點，且平行於兩相交平面和的直線方程
（2求過點，且與直線平行的直線方程
（3）求過點，且與平面平行，又與直線垂直的直線方程
注意：一直線和兩直線垂直；一直線和兩平面平行；一直線和一平面平行，和另一直線垂直均可確定直線的方向向量
3、利用直線和直線的位置關係求直線方程
注意：（1）兩直線平行，則，其中和為直線的方向向量
（2）兩直線和相交，則
且（3）兩直線和異面，其中公垂線的方向向量為，則兩異面直線的距離為；公垂線方程為
例（1）求通過點且與兩直線和都相交的直線方程
解：設所求直線的方向向量為，已知兩直線的方向向量為、，且分別過點、
則，即；，即
故，故所求直線為
（2）已知兩異面直線和，求它們的距離與公垂線方程
（3）求與直線平行且與下列兩直線相交的直線
和（4）求過點與軸相交，且與已知直線垂直的直線方程
習題1、已知柱面的準線為且（1）母線平行於軸（2）母線平行於直線，求柱面方程
2、已知柱面的準線為母線垂直於準線所在的方程，求柱面方程
3、求過三條平行線的圓柱面方程
4、求頂點為原點，準線為的錐面方程
5、頂點為，準線為，求錐面方程
6、頂點為，軸垂直於平面，且過點，求該圓錐面的方程
7、求下列旋轉曲面方程
天津數學解析幾何大題
2005天津文 22 本小題滿分14分 拋物線c的方程為y ax2 a 0 過拋物線c上一點p x0，y0 x0 0 作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線c於a x1，y1 b x2，y2 兩點 p a b三點互不相同 且滿足k2 k1 0 0且 1 i 求拋物線c的焦點座標和準線方程 ii 設...
解析幾何考綱
15 圓錐曲線與方程 圓錐曲線與方程 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.掌握橢圓的定義 幾何圖形 標準方程及簡單幾何性質.了解雙曲線 拋物線的定義 幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質.理解數形結合的思想.了解圓錐曲線的簡單應用.20 本小題滿分12分 ...
解析幾何 原稿
1 2006年全國聯賽題 給定整數n 2,設是拋物線與直線的乙個交點，試證明 對於任意正整數m，必存在整數k 2,使為拋物線與直線的乙個交點。p52 證明因為與的交點為顯然有若為拋物線與直線的乙個交點，則記則 1 由於是整數，也是整數，所以根據數學歸納法，通過 1 式可證明 對於一切正整數是正整數。...