ⅰ、綜合問題精講：
探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結論，需要經過推斷，補充並加以證明的題型．探索性問題一般有三種型別：（1）條件探索型問題；（2）結論探索型問題；（3）探索存在型問題．條件探索型問題是指所給問題中結論明確，需要完備條件的題目；結論探索型問題是指題目中結論不確定，不唯一，或題目結論需要模擬，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結出一般結論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發現某種數學關係是否存在的題目．
探索型問題具有較強的綜合性，因而解決此類問題用到了所學過的整個初中數學知識．經常用到的知識是：一元一次方程、平面直角座標系、一次函式與二次函式解析式的求法（圖象及其性質）、直角三角形的性質、四邊形（特殊）的性質、相似三角形、解直
角三角形等．其中用幾何圖形的某些特殊性質：勾股定理、相似三角形對應線段成比例等來構造方程是解決問題的主要手段和途徑．因此複習中既要重視基礎知識的複習，又要加強變式訓練和數學思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力．
ⅱ、典型例題剖析
【例1】如圖2－6－1，已知拋物線的頂點為a(o，1)，矩形cdef的頂點c、f在拋物線上，d、e在軸上，cf交y軸於點b(0，2)，且其面積為8．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)如圖2－6－2，若p點為拋物線上不同於a的一點，鏈結pb並延長交拋物線於點q，過點p、q分別作軸的垂線，垂足分別為s、r．
①求證：pb＝ps；
②判斷△sbr的形狀；
③試探索**段sr上是否存在點m，使得以點p、s、m為頂點的三角形和以點q、r、m為頂點的三角形相似，若存在，請找出m點的位置；若不存在，請說明理由．
⑴解：方法一：∵b點座標為(0，2)，∴ob＝2，
∵矩形cdef面積為8，∴cf=4.
∴c點座標為(一2，2)．f點座標為(2，2)。
設拋物線的解析式為．
其過三點a(0，1)，c(-2．2)，f(2，2)。
得解得∴此拋物線的解析式為
方法二：∵b點座標為(0，2)，∴ob＝2，
∵矩形cdef面積為8， ∴cf=4.
∴c點座標為(一2，2)。
根據題意可設拋物線解析式為。
其過點a(0，1)和c(-2．2)
解得此拋物線解析式為
(2)解：
①過點b作bn，垂足為n．
∵p點在拋物線y=+l上．可設p點座標為．∴ps＝，ob＝ns＝2，bn＝。∴pn=ps—ns= 在rtpnb中．
pb2＝
∴pb＝ps＝
②根據①同理可知bq＝qr。
∴，又∵，
∴，同理sbp＝∠b
∴∴∴.
∴ △sbr為直角三角形．
方法一：設，
∵由①知ps＝pb＝b．，。∴
∴。假設存在點m．且ms＝，別mr＝。若使△psm∽△mrq，
則有。即
∴。 ∴sr＝2
∴m為sr的中點. 若使△psm∽△qrm，
則有。∴。
∴。∴m點即為原點o。
綜上所述，當點m為sr的中點時． psm∽δmrq；當點m為原點時， psm∽mrq．
方法二：若以p、s、m為頂點的三角形與以q、m、r為頂點三角形相似，
∵，∴有psm∽mrq和psm∽△qrm兩種情況。
當psm∽mrq時． spm＝rmq， smp＝rqm．
由直角三角形兩銳角互餘性質．知pms+qmr＝90°。∴。
取pq中點為n．鏈結mn．則mn＝pq=．
∴mn為直角梯形srqp的中位線,
∴點m為sr的中點當△psm∽△qrm時，
。又，即m點與o點重合。∴點m為原點o。
綜上所述，當點m為sr的中點時， psm∽△mrq；當點m為原點時， psm∽△qrm。
點撥：通過對圖形的觀察可以看出c、f是一對關於y軸的對稱點，所以（1）的關鍵是求出其中乙個點的座標就可以應用三點式或 y=ax2+c型即可．而對於點 p既然在拋物線上，所以就可以得到它的座標為（a， a2+1）．這樣再過點b作bn⊥ps．得出的幾何圖形求出pb 、ps的大小．最後一問的關鍵是要找出△psm與△mrq相似的條件．
【例2】**規律：如圖2－6－4所示，已知：直線m∥n，a、b為直線n上兩點，c、p為直線m上兩點．
（1）請寫出圖2－6－4中，面積相等的各對三角形；
（2）如果a、b、c為三個定點，點p在m上移動，那麼，無論p點移動到任何位置，總有________與△abc的面積相等．理由是
解決問題：如圖 2－6－5所示，五邊形 abcde是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經過多年開墾荒地，現已變成如圖2－6－6所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（2－6－6中折線cde）還保留著；張大爺想過e點修一條直路，直路修好後，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多．請你用有關的幾何知識，按張大爺的要求設計出修路方案（不計分界小路與直路的占地面積）．
（1）寫出設計方案．並畫出相應的圖形；
（2）說明方案設計理由．
解：**規律：（l）△abc和△abp，△aoc和△ bop、△cpa和△cpb．
（2）△abp；因為平行線間的距離相等，所以無論點p在m上移動到任何位置，總有△abp與△abc同底等高，因此，它們的面積總相等．
解決問題：⑴畫法如圖2－6－7所示．
連線ec，過點d作df∥ec，交cm於點f，連線ef，ef即為所求直路位置．
⑵設ef交cd於點h，由上面得到的結論可知：
sδecf=sδecd，sδhcf=sδedh，所以s五邊形abcde=s五邊形abcfe，s五邊形edcmn=s四邊形efmn．
點撥：本題是探索規律題，因此在做題時要從前邊問題中總結出規律，後邊的問題要用前邊的結論去一做，所以要連線ec，過d作df∥ec，再運用同底等高的三角形的面積相等．
【例3】如圖2－6－8所示，已知拋物線的頂點為m（2，－4），且過點a(－1,5)，鏈結am交x軸於點b．
⑴求這條拋物線的解析式；
⑵求點 b的座標；
⑶設點p（x，y）是拋物線在x軸下方、頂點 m左方一段上的動點，鏈結 po，以p為頂點、pq為腰的等腰三角形的另一頂點q在x軸上，過q作x軸的垂線交直線am於點r，鏈結pr．設面 pqr的面積為s．求s與x之間的函式解析式；
⑷在上述動點p（x，y）中，是否存在使sδpqr=2的點？若存在，求點p的座標；若不存在，說明理由．
解：（1）因為拋物線的頂點為m（2，－4）
所以可設拋物線的解析式為y=（x－2）2 －4．
因為這條拋物線過點a（－1，5）
所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．
所以所求拋物線的解析式為y=（x—2）2 －4
（2）設直線am的解析式為y=kx+ b．
因為a（－1，5）, m（2，－4）
所以，解得 k=－3，b=2．
所以直線am的解析式為 y=3x＋2．
當y=0時，得x=，即am與x軸的交點b（,0）
（3）顯然，拋物線y=x2－4x過原點(0，0〕
當動點p（x，y）使△poq是以p為頂點、po為腰且另一頂點q在x軸上的等腰三角形時，由對稱性有點 q（2x，0）
因為動點p在x軸下方、頂點m左方，所以0＜x＜2．
因為當點q與b（，0）重合時，△pqr不存在，所以x≠，
所以動點p（x，y）應滿足條件為0＜x＜2且x≠，
因為qr與x軸垂直且與直線am交於點r，
所以r點的座標為（2x，－6x+2）
如圖2－6－9所示，作p h⊥or於h，
則ph=
而s=△pqr的面積=qr·p h=
下面分兩種情形討論：
①當點q在點b左方時，即0＜x＜時，
當r在 x軸上方，所以－6x＋2＞0．
所以s=（－6x＋2）x=－3x2+x；
②當點q在點b右方時，即＜x＜2時
點r在x軸下方，所以－6x＋2＜0．
所以s= [－（－6x＋2）]x=3x2－x；
即s與x之間的函式解析式可表示為
（4）當s=2時，應有－3x2+x =2，即3x2 －x+ 2=0，
顯然△＜0，此方程無解．或有3x2－x =2，即3x2 －x－2=0，解得x1 =1，x2＝－
當x=l時，y= x2－4x=－3，即拋物線上的點p（1，－3）可使sδpqr=2；
當x=－＜0時，不符合條件，應捨去．
所以存在動點p，使sδpqr=2，此時p點座標為(1,－3)
點撥：此題是一道綜合性較強的**性問題，對於第（1）問我們可以採用頂點式求得此拋物線，而（2）中的點b是直線 am與x軸的交點，所以只要利用待定係數法就可以求出直線am，從而得出與x軸的交點b．(3)問中注意的是q點所處位置的不同得出的s與x之間的關係也隨之發生變化．（4）可以先假設存在從而得出結論．
ⅲ、綜合鞏固練習：（100分 90分鐘）
1． 觀察圖2－6－10中⑴）至⑸中小黑點的擺放規律，並按照這樣的規律繼續擺放．記第n個圖中小黑點的個數為y．解答下列問題：
⑴ 填下表：
⑵ 當n=8時，y
⑶ 根據上表中的資料，把n作為橫座標，把y作為縱座標，在圖2－6－11的平面直角座標系中描出相應的各點（n，y），其中1≤n≤5；
⑷ 請你猜一猜上述各點會在某一函式的圖象上嗎？
如果在某一函式的圖象上，請寫出該函式的解析式．
2．（5分）圖2－6－12是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子．觀察圖形的變化規律，寫出第n個小房子用了塊石子．
3．(10分)已知rt△abc中，ac=5，bc=12，∠acb =90°，p是ab邊上的動點（與點a、b不重合），q是bc邊上的動點（與點b、c不重合）．
⑴ 如圖2－6－13所示，當pq∥a c，且q為bc的中點時，求線段cp的長；
⑵ 當pq與ac不平行時，△cpq可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段cq的長的取值範圍，若不可能，請說明理由．
4．如圖2－6－14所示，在直角座標系中，以a（－1，－1），b（1，－1），c（1，1），d（－1，l）為頂點的正方形，設正方形在直線：y=x及動直線：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方部分的面積為s（例如當a取某個值時，s為圖中陰影部分的面積），試分別求出當a=0，a=－1時，相應的s的值．
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