數學開放性問題怎麼解
數學開放性問題是近年來高考命題的乙個新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標的操作模式分為:規律探索型,問題**型,數學建模型,操作設計型,情景研究型.如果未知的是解題假設,那麼就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標,那麼就稱為結論開放題;如果未知的是解題推理,那麼就稱為策略開放題.
當然,作為數學高考題中的開放題其「開放度」是較弱的,如何解答這類問題,還是通過若干範例加以講解.
例 1 設等比數列的公比為 ，前項和為 ，是否存在常數 ，使數列也成等比數列？若存在，求出常數；若不存在，請明理由.
講解存在型開放題的求解一般是從假設存在入手, 逐步深化解題程序的.
設存在常數， 使數列成等比數列.
(i) 當時， 代入上式得
即=0但, 於是不存在常數 ，使成等比數列.
(ii) 當時，， 代入上式得
.綜上可知 , 存在常數 ，使成等比數列.
等比數列n項求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的情形, 可不要忽視啊 !
例2 某工具機廠今年年初用98萬元購進一台數控工具機，並立即投入生產使用，計畫第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該工具機使用後，每年的總收入為50萬元，設使用x年後數控工具機的盈利額為y萬元.
（1）寫出y與x之間的函式關係式；
（2）從第幾年開始，該工具機開始盈利（盈利額為正值）；
(3 ) 使用若干年後，對工具機的處理方案有兩種：
(i )當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元**處理該工具機；
(ii )當盈利額達到最大值時，以12萬元**處理該工具機，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由.
講解本例兼顧應用性和開放性, 是實際工作中經常遇到的問題.
（1）（2）解不等式 ＞0,
得 ＜x＜.
∵ x∈n， ∴ 3 ≤x≤ 17.
故從第3年工廠開始盈利.
（3）(i) ∵ ≤40
當且僅當時，即x=7時，等號成立.
∴ 到2023年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12×7+30=114萬元.
(ii) y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，
當x=10時，ymax=102.
故到2023年，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元.
解答函式型最優化實際應用題，二、三元均值不等式是常用的工具.
例3 已知函式f(x)= (x<-2)
(1)求f(x)的反函式f-1(x);
(2)設a1=1,=-f-1(an)(n∈n),求an;
(3)設sn=a12+a22+…+an2,bn=sn+1-sn是否存在最小正整數m,使得對任意n∈n,有bn《成立？若存在，求出m的值；若不存在說明理由.
講解本例是函式與數列綜合的存在性問題, 具有一定的典型性和探索性.
(1) y=,
∵x<-2，∴x= -,
即y=f-1(x)= - (x>0
(2) ∵ , ∴=4.
∴{}是公差為4的等差數列.
∵a1=1, ∴=+4(n-1)=4n-3.
∵an>0 , ∴an
(3) bn=sn+1-sn=an+12=, 由bn<,得 m>對於n∈n成立.
∵≤5 ,
∴m>5,存在最小正數m=6,使得對任意n∈n有bn《成立.
為了求an ,我們先求,這是因為{}是等差數列, 試問: 你能夠想到嗎? 該題是構造等差數列的乙個典範.
例4 已知數列在直線x-y+1=0上.
（1） 求數列的通項公式；
（2）若函式
求函式f(n)的最小值；
(3)設表示數列的前n項和.試問:是否存在關於n 的整式g(n), 使得對於一切不小於2的自然數n恆成立?若存在,寫出g(n)的解析式,並加以證明;若不存在,說明理由.
講解從規律中發現 ,從發現中探索.
（1）（2） ,
.（3）,
故存在關於n的整式使等式對於一切不小2的自然數n恆成立.
事實上, 數列是等差數列, 你知道嗎？
例5 深夜，一輛計程車被牽涉進一起交通事故，該市有兩家計程車公司——紅色計程車公司和藍色計程車公司，其中藍色計程車公司和紅色計程車公司分別佔整個城市計程車的85%和15%。據現場目擊證人說，事故現場的計程車是紅色，並對證人的辨別能力作了測試，測得他辨認的正確率為80%，於是警察就認定紅色計程車具有較大的肇事嫌疑. 請問警察的認定對紅色計程車公平嗎？
試說明理由.
講解設該城市有計程車1000輛，那麼依題意可得如下資訊：
從表中可以看出，當證人說計程車是紅色時，且它確實是紅色的概率為，而它是藍色的概率為. 在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據對紅色計程車顯然是不公平的.
本題的情景清新, 涉及到新教材中概率的知識, 上述解法中的列表技術顯示了一定的獨特性, 在數學的應試復課中似乎是很少見的.
例6 向明中學的甲、乙兩同學利用暑假到某縣進行社會實踐，對該縣的養雞場連續六年來的規模進行調查研究，得到如下兩個不同的資訊圖：
（a）圖表明：從第1年平均每個養雞場出產1萬只雞上公升到第6年平均每個養雞場出產2萬只雞;
（b）圖表明：由第1年養雞場個數30個減少到第6年的10個.
請你根據提供的資訊解答下列問題：
（1）第二年的養雞場的個數及全縣出產雞的總隻數各是多少？
（2）哪一年的規模最大？為什麼？
講解 （1）設第n年的養雞場的個數為，平均每個養雞場出產雞萬只，
由圖（b）可知, =30，且點在一直線上，
從而由圖（a）可知, 且點在一直線上，
於是=（萬只），（萬只）
第二年的養雞場的個數是26個，全縣出產雞的總隻數是31.2萬只；
（2）由（萬只），
第二年的養雞規模最大，共養雞31.2萬只.
有時候我們需要畫出圖形, 有時候我們卻需要從圖形中採集必要的資訊, 這正反映了乙個事物的兩個方面. 看來, 讀圖與識圖的能力是需要不斷提公升的.
例7 已知動圓過定點p（1，0），且與定直線相切，點c在l上.
（1）求動圓圓心的軌跡m的方程；
（2）設過點p，且斜率為－的直線與曲線m相交於a，b兩點.
（i）問：△abc能否為正三角形？若能，求點c的座標；若不能，說明理由；
（ii）當△abc為鈍角三角形時，求這種點c的縱座標的取值範圍.
講解本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關係，是解析幾何中的存在性問題.
（1）由曲線m是以點p為焦點，直線l為準線的拋物線，知曲線m的方程為.
（2）（i）由題意得，直線ab的方程為消y得
於是, a點和b點的座標分別為a，b（3，），
假設存在點c（－1，y），使△abc為正三角形，則|bc|=|ab|且|ac|=|ab|，
即有由①－②得
因為不符合①，所以由①，②組成的方程組無解.
故知直線l上不存在點c，使得△abc是正三角形.
（ii）設c（－1，y）使△abc成鈍角三角形，
由即當點c的座標是（－1，）時，三點a，b，c共線，故.
， ，
. (i) 當，即，
即為鈍角.
(ii) 當，即，
即為鈍角.
(iii)當，即，
即. 該不等式無解，所以∠acb不可能為鈍角.
故當△abc為鈍角三角形時，點c的縱座標y的取值範圍是.
需要提及的是, 當△abc為鈍角三角形時, 鈍角的位置可能有三個,需要我們進行一一**.
例8 已知是定義在r上的不恒為零的函式，且對於任意的a，b∈r都滿足關係式 .
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判斷的奇偶性，並證明你的結論；
（3）若，求數列的前n項的和sn.
講解本題主要考查函式和數列的基本知識，考查從一般到特殊的取特值求解技巧.
（1）在中,令得
在中,令得
，有 .
（2）是奇函式,這需要我們進一步探索. 事實上
故為奇函式.
（2） 從規律中進行**,進而提出猜想.
由,猜測 .
於是我們很易想到用數學歸納法證明.
1° 當n=1時，，公式成立；
2°假設當n=k時，成立，那麼當n=k+1時，
，公式仍然成立.
綜上可知，對任意成立.
從而 .
，.故例9 若、，
(1)求證：；
(2)令，寫出、、、的值，觀察並歸納出這個數列的通項公式；
(3)證明：存在不等於零的常數p，使是等比數列，並求出公比q的值.
講解 (1)採用反證法. 若，即, 解得
從而與題設,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、,
.（3）因為又,
所以,因為上式是關於變數的恒等式，故可解得、.
我們證明相等的問題太多了,似乎很少見到證明不相等的問題,是這樣嗎?
例10 如圖，已知圓a、圓b的方程分別是動圓p與圓a、圓b均外切，直線l的方程為：．
（1）求圓p的軌跡方程，並證明：當時，點p到點b的距離與到定直線l距離的比為定值；
（2） 延長pb與點p的軌跡交於另一點q，求的最小值；
（3）如果存在某一位置，使得pq的中點r在l上的射影c，滿足求a的取值範圍．
講解（1）設動圓p的半徑為r，則｜pa｜＝ｒ＋，｜pb| = r + ，
∴ |pa| －｜pb| = 2．
∴ 點p的軌跡是以a、b為焦點，焦距為4，實軸長為2的雙曲線的右準線的右支，其方程為 （x ≥1）．若 , 則l的方程為雙曲線的右準線, ∴點p到點b的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e = 2.
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