百科名片
圓錐曲線
圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線。其統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當01時為雙曲線。
圓錐曲線的由來
兩千多年前，古希臘數學家最先開始研究圓錐曲線，並且獲得了大量的成果。古希臘數學家阿波羅尼採用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直於錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。
阿波羅尼曾把橢圓叫「虧曲線」，把雙曲線叫做「超曲線」，把拋物線叫做「齊曲線」。事實上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學中關於圓錐曲線的全部性質和結果。
定義幾何觀點
用乙個平面去截乙個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線。
通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：
1) 當平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結果為拋物線。
2) 當平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結果退化為一條直線。
3) 當平面只與圓錐面一側相交，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。
4) 當平面只與圓錐面一側相交，且不過圓錐頂點，並與圓錐面的對稱軸垂直，結果為圓。
5) 當平面只與圓錐面一側相交，且過圓錐頂點，結果退化為乙個點。
6) 當平面與圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線。
7) 當平面與圓錐面兩側都相交，且過圓錐頂點，結果為兩條相交直線。
代數觀點
在笛卡爾平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cx^2+dx+ey+f=0的影象是圓錐曲線。根據判別式的不同，也包含了橢圓，雙曲線，拋物線以及各種退化情形。
焦點-準線觀點
（嚴格來講，這種觀點下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，並能引導出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質。）
給定一點p，一直線l以及一非負實常數e，則到p的距離與l距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線，根據e的範圍不同，曲線也各不相同，具體如下：
1) e=0，軌跡退化為一點（就是點p）。
2) 0 3) e=1（即到p與到l距離相同），軌跡為拋物線。
4) 1 5) e=∞，軌跡退化為一直線（就是l）。
相關幾何概念與性質
（以下以純幾何方式敘述主要的圓錐曲線通用的概念和性質，由於大部分性質是在焦點－準線觀點下定義的，對於更一般的退化情形，有些概念可能不適用。）
考慮焦點－準線觀點下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點；定直線稱為圓錐曲線的準線；固定的常數（即圓錐曲線上一點到焦點與準線的距離比）稱為圓錐曲線的離心率；焦點到準線的距離稱為焦準距；焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。過焦點、平行於準線的直線與圓錐曲線相交於兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑。
圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。
類似圓，與圓錐曲線交於兩點的直線上兩交點間的線段稱為弦；過焦點的弦稱為焦點弦。
對於同乙個橢圓或雙曲線，有兩個「焦點－準線」的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點和兩條準線。而拋物線只有乙個焦點和一條準線。
圓錐曲線關於過焦點與準線垂直的直線對稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對於橢圓和雙曲線，還關於焦點連線的垂直平分線對稱。
定理(pappus)：圓錐曲線上一點的焦半徑長度等於該點到相應準線的距離乘以離心率。
定理(pascal)：圓錐曲線的內接六邊形，若對邊兩兩不平行，則該六邊形對邊延長線的交點共線。（對於退化的情形也適用）
定理(brianchon)：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對角線共點。
圓錐曲線的方程和性質
1）橢圓(ellipise)
文字語言定義：平面內乙個動點到乙個定點與一條定直線的距離之比是乙個小於1的正常數e。定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率。
標準方程：
1.中心在原點，焦點在x軸上的橢圓標準方程： (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
2.中心在原點，焦點在y軸上的橢圓標準方程： (x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1
其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
引數方程：x=acosθ y=bsinθ (θ為引數 ，設橫座標為acosθ，是由於圓錐曲線的考慮，橢圓伸縮變換後可為圓此時c=0，圓的acosθ=r)
2）雙曲線(hyperbola)
文字語言定義：平面內乙個動點到乙個定點與一條定直線的距離之比是乙個大於1的常數e。定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線,常數e是雙曲線的離心率。
標準方程：
1.中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線標準方程： (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
2.中心在原點,焦點在y軸上的雙曲線標準方程： (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
引數方程：x=asecθ y=btanθ (θ為引數 )
直角座標（中心為原點）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (開口方向為x軸） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (開口方向為y軸）
3）拋物線(parabola)
引數方程
x=2pt^2 y=2pt (t為引數) t=1/tanθ(tanθ為曲線上點與座標原點確定直線的斜率）特別地，t可等於0
直角座標
y=ax^2+bx+c (開口方向為y軸, a<>0 ） x=ay^2+by+c （開口方向為x軸, a<>0 )
圓錐曲線（二次非圓曲線）的統一極座標方程為
ρ=ep/(1-e×cosθ)
其中e表示離心率，p為焦點到準線的距離。
焦點到最近的準線的距離等於ex±a
圓錐曲線的焦半徑（焦點在x軸上，f1 f2為左右焦點，p（x，y），長半軸長為a）
焦半徑 圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為焦半徑。
圓錐曲線左右焦點為f1、f2,其上任意一點為p(x,y)，則焦半徑為：
橢圓|pf1|=a+ex
|pf2|=a-ex
雙曲線p在左支，|pf1|=－a-ex |pf2|=a-ex
p在右支，|pf1|=a+ex |pf2|=－a+ex
p在下支，|pf1|= －a-ey |pf2|=a-ey
p在上支，|pf1|= a+ey |pf2|=－a+ey
拋物線|pf|=x+p/2
圓錐曲線的切線方程
圓錐曲線上一點p（x0,y0）的切線方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y
即橢圓:x0x/a^2+y0y/b^2=1;雙曲線：x0x/a^2-y0y/b^2=1；拋物線:y0y=p(x0+x)
焦準距 圓錐曲線的焦點到準線的距離p叫圓錐曲線的焦準距，或焦引數。
橢圓的焦準距:p=(b^2)/c
雙曲線的焦準距:p=(b^2)/c
拋物線的準焦距:p
通徑 圓錐曲線中，過焦點並垂直於軸的弦成為通徑。
橢圓的通徑:(2b^2)/a
雙曲線的通徑:(2b^2)/a
拋物線的通徑:2p
圓錐曲線的性質對比
圓錐曲線的中點弦問題
已知圓錐曲線內一點為圓錐曲線的一弦中點，求該弦的方程
⒈聯立方程法。
用點斜式設出該弦的方程(斜率不存在的情況需要另外考慮),與圓錐曲線方程聯立求得關於x的一元二次方程和關於y的一元二次方程，由韋達定理得到兩根之和的表示式，在由中點座標公式的兩根之和的具體數值，求出該弦的方程。
2.點差法，或稱代點相減法。
設出弦的兩端點座標(x1,y1)和(x2,y2)，代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個方程相減,運用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0
由斜率為(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用時注意判別式的問題）
圓錐曲線中求點的軌跡方程
在求曲線的軌跡方程時，如果能夠將題設條件轉化為具有某種動感的直觀圖形，通過觀察圖形的變化過程，發現其內在聯絡，找出哪些是變化的量（或關係）、哪些是始終保持不變的量（或關係），那麼我們就可以從找出的不變數（或關係）出發，開啟解題思路，確定解題方法。
圓錐曲線的曲率（見右圖）曲率半徑的作圖。第二條垂線與法線的交點
z就是曲率的中心他到p點的距離便是曲率半徑。
圓錐曲線判別法
設圓錐曲線的方程為
ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0
|a b d|
=|b c e| δ=|a b| s=a+c 稱為二次曲線不變數
|d e f| |b c|
|d e f| |b c|
圓錐曲線漫談
圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角座標系，它們又與二次方程對應，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。
高中解析幾何初步方法小結
平面解析幾何初步 常用方法 公式總結 一 基本公式 1 數軸上向量關係式 2 數軸上向量座標公式 3 數軸上兩點距離公式 4 兩點間距離公式 5 中點座標公式 二 直線的傾斜角與斜率 1 軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角。2 傾斜角為的直線無斜率，另外，每條直線都存在唯一的傾斜角，...
高中解析幾何知識點
一 基本內容 一 直線的方程 1 直線的方程 2 兩條直線的位置關係 兩條直線的夾角，當兩直線的斜率k1，k2都存在且k1 k2 外注意到角公式與夾角公式的區別 2 判斷兩直線是否平行，或垂直時，若兩直線的斜率都存在，可用斜率的關係來判斷 但若直線斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來判斷 二 ...
解析幾何考綱
15 圓錐曲線與方程 圓錐曲線與方程 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.掌握橢圓的定義 幾何圖形 標準方程及簡單幾何性質.了解雙曲線 拋物線的定義 幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質.理解數形結合的思想.了解圓錐曲線的簡單應用.20 本小題滿分12分 ...