鎮江高三數學
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上．
1．已知集合m＝，n＝，則m∩n＝ ▲ ．
2．已知向量，，若，則實數 ▲ ．
3.直線與平行,則實數
4.方程有 ▲ 個不同的實數根．
5. 已知,函式的週期比振幅小1,則 ▲ ．
6. 在△abc中，，則= ▲ ．
7. 在等比數列中，為其前項和，已知，，則此數列的公比為 ▲ ．
8. 觀察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推測到乙個一般的結論：對於n∈n*，
9. 圓心在拋物線上,並且和拋物線的準線及軸都相切的圓的標準方程為 ▲ ．
10. 在菱形中，, , , ,
則 ▲ ．
11.設雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，
且,則此雙曲線離心率的最大值為 ▲ ．
12. 從直線上一點向圓引切線,為切點,則四邊形的周長最小值為 ▲ ．
13. 每年的1月1日是元旦節，7月1日是建黨節，而2023年的春節是2月10日，祝同學們新年夢想成真! 因為 ▲ ，新年將注定不平凡，請在括號內填寫乙個由月份和日期構成的正整數，使得等式成立，也正好組成我國另外乙個重要節日.
14. 已知x，y為正數，則的最大值為 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（本小題滿分14分）
已知；不等式恆成立，
若是的必要條件，求實數的取值範圍.
16.（本小題滿分14分）
已知△的面積為，且.
（1）求的值；
（2）若，，求△abc的面積．
17.（本小題滿分14分）
已知,函式r)圖象上相異兩點處的切線分別為，
且∥.（1）判斷函式的奇偶性；並判斷是否關於原點對稱；
（2）若直線都與垂直，求實數的取值範圍.
18.（本小題滿分16分）
一位幼兒園老師給班上個小朋友分糖果.她發現糖果盒中原有糖果數為,就先從別處抓2塊糖加入盒中，然後把盒內糖果的分給第乙個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中，然後把盒內糖果的分給第二個小朋友;…,以後她總是在分給乙個小朋友後,就從別處抓2塊糖放入盒中，然後把盒內糖果的分給第個小朋友．如果設分給第個小朋友後（未加入2塊糖果前）盒內剩下的糖果數為.
（1） 當,時,分別求;
（2） 請用表示;令,求數列的通項公式;
（3）是否存在正整數和非負整數,使得數列成等差數列,如果存在,請求出所有的和,如果不存在,請說明理由.
19.（本小題滿分16分）
已知橢圓的中心在原點，長軸在x軸上，右頂點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為. 不過a點的動直線交橢圓於p,q兩點．
（1） 求橢圓的標準方程；
（2）證明p,q兩點的橫座標的平方和為定值；
（3）過點 a,p,q的動圓記為圓c，動圓c過不同於a的定點，請求出該定點座標.
20.（本小題滿分16分）
已知函式，對一切正整數，數列定義如下：，
且，前項和為.
（1）求函式的單調區間，並求值域；
（2）證明；
（3）對一切正整數，證明： ； .
．高三數學期末檢測答案及評分標準
一、填空題（每題5分）
1.; 2. 0; 3.; 4 . 2; 5. 1 ; 6.; 7. 3; 8.
9.; 10.; 11.; 12.; 13. 101; 14..
【說明】
13.本題的一般結論是，可以應用課本習題中結論證得.
14. 本題可以進一步推廣為:是否存在實數,使得當時恆成立?
二、解答題：
15.解： ,即,……3分是的必要條件,
是的充分條件,……5分不等式對恆成立,……7分
對恆成立,……10分
,當且僅當時,等號成立.……13分 .……14分
【說明】本題考查簡易邏輯、命題真假判斷、簡單指數不等式的解法、函式的最值、基本不等式應用；考查不等式恆成立問題；考查轉化思想.
16.解：（1）設△的角所對應的邊分別為.
, ,……2分
, .……4分 .……5分
（2）,即,……6分 ,……7分
. ……9分
……11分
由正弦定理知：,……13分
.……14分
【說明】本題主要考查和差三角函式、倍角公式、正弦定理的應用、平面向量的運算；考查運算變形和求解能力.
17.解：（1），……2分
為奇函式.……3分
設且,又，……5分
在兩個相異點處的切線分別為,且∥，
，又， ，……6分又為奇函式，
點關於原點對稱．……7分
（2）由（1）知， ，……8分
又在a處的切線的斜率，直線都與垂直,
，……9分
令，即方程有非負實根，……10分
，又， ．綜上．……14分
【說明】本題考查函式性質和導數的運算與應用、一元二次方程根的分布；考查換元法考查推理論證能力.
21. 解：（1）當,時, ,
,.……3分
（2）由題意知： ,……6分
即, ,……7分
累加得,……9分又,.……10分
（3）由，得,……12分
若存在正整數和非負整數,使得數列成等差數列,
則,……14分即,……15分
當時，，對任意正整數,有成等差數列. ……16分
[注:如果驗證不能成等差數列,不扣分]
【說明】本題主要考查數列的定義、通項求法；考查反證法；考查遞推思想；考查推理論證能力；考查閱讀理解能力、建模能力、應用數學解決問題能力．本題還可以設計：如果班上有5名小朋友，每個小朋友都分到糖果，求的最小值.
19.解：（1）設橢圓的標準方程為.由題意得.……2分
, , ……2分橢圓的標準方程為.……4分
（2）證明：設點
將帶入橢圓，化簡得：
,……6分
p,q兩點的橫座標的平方和為定值4.……7分
（3）(法一)設圓的一般方程為:,則圓心為（）,
pq中點m(), pq的垂直平分線的方程為:, ……8分
圓心（）滿足，所以,……9分
圓過定點(2,0)，所以,……10分
圓過, 則兩式相加得：
,……11分
, .……12分
因為動直線與橢圓c交與p,q（均不與a點重合）所以，
由解得: ……13分
代入圓的方程為：,
整理得：,……14分
所以：……15分解得：或(舍).
所以圓過定點(0,1).……16分
(法二) 設圓的一般方程為:,將代入的圓的方程:
.……8分
方程與方程為同解方程., ……11分
圓過定點(2,0)，所以, ……12分
因為動直線與橢圓c交與p,q（均不與a點重合）所以.
解得:,……13分 (以下相同)
【說明】本題考查圓錐曲線的基本量間關係、直線與圓錐曲線的位置關係；考查定點定值問題；考查運算求解能力和推理論證能力.
20.解：（1）定義域r，
，……1分
，．……2分
函式的單調增區間為，單調減區間為．……3分
（法一），，當時，，……4分
時，為減函式，；
當時，；函式的值域為．……5分
（法二）當時，,當時，,且, ,函式的值域為.……5分
（法三）判別式法（略）
（2）設,
設，則，則，.……6分
當時，恆成立．
當且僅當時，……7分
令，當且僅當時，
當時，由（１）, 當時，無解……8分
當時，，
當時，在無解．……9分
綜上，除外，方程無解，
．……10分
（3）顯然,又,，
，……11分
所以， 若，則矛盾.所以.……12分
(法一)
……14分
……15分
……16分
(法二)……13分
……14分
15分16分
【說明】本題以高等數學中不動點、函式迭代等理論為背景，考查函式的圖象與性質、導數的運算與應用；考查函式思想；考查推理論證能力、運算能力. 其中第2問證法較多. 本題可以進一步設計證明.
如令,可證明對任意正整數有互素.
常州市2013屆高三期末調研測試數學試卷及評分標準
數學ⅰ試題
參考公式：
樣本資料，，… ，的方差，其中=．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
1． 設集合，，若，則實數的值為 ▲ ．
2． 已知複數（為虛數單位），計算
3． 已知雙曲線的一條漸近線經過點，則該雙曲線的離心率的值為 ▲ ．
4． 根據右圖所示的演算法，可知輸出的結果為 ▲ ．
5． 已知某拍賣行組織拍賣的10幅名畫中，有2幅是膺品．某人在這次拍賣中隨機**了一幅畫，則此人**的這幅畫是膺品的事件的概率為 ▲ ．
6． 函式的最小正週期為 ▲ ．
7． 函式的值域為 ▲ ．
8． 已知點和點在曲線c：為常數上，若曲線在點和點處的切線互相平行，則 ▲ ．
9． 已知向量，滿足，，則向量，的夾角的大小為 ▲ ．
10． 給出下列命題：
（1）若乙個平面經過另乙個平面的垂線，那麼這兩個平面相互垂直；
（2）若乙個平面內的兩條直線與另乙個平面都平行，那麼這兩個平面相互平行；
（3）若兩條平行直線中的一條垂直於直線m，那麼另一條直線也與直線m垂直；
（4）若兩個平面垂直，那麼乙個平面內與它們的交線不垂直的直線與另乙個平面也不垂直.
其中，所有真命題的序號為 ▲ ．
11． 已知函式f(x)＝，若關於x的方程f(x)＝kx有兩個不同的實根，則實數k的取值範圍是
12． 已知數列滿足，，則
13． 在平面直角座標系中，圓：分別交軸正半軸及軸負半軸於，兩點，點為圓上任意一點，則的最大值為 ▲ ．
14．已知實數同時滿足，，，則的取值範圍是 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
已知均為銳角，且，．
（1）求的值； （2）求的值．
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